σ为可逆映射的充要条件是σ为双射

对于一个映射σ，如果它是双射，即既是单射又是满射，那么它就一定是可逆映射。因为双射的定义就是存在一个逆映射σ^-1，使得σ^-1(σ(x))=x对于所有x成立。这就意味着，对于任意一个y∈B，存在一个唯一的x∈A，使得σ(x)=y，那么我们就可以定义一个映射τ：B→A，使得τ(y)=x，这样我们就得到了一个逆映射τ，使得τ(σ(x))=x对于所有x∈A成立。因此，σ就是可逆映射。反之，如果一个映射σ是可逆映射，那么它就一定是双射，因为对于任意一个y∈B，存在唯一的x∈A，使得σ(x)=y，这就保证了σ是满射。又因为对于任意的x1,x2∈A，如果σ(x1)=σ(x2)，那么x1=x2，这就保证了σ是单射。因此，σ是双射。因此，σ为可逆映射的充要条件是σ为双射。