一条线段上有4个点，位置分别为-3，9，2，16。现在我们要再在这条线段上设置一个点，要求这点与线段上的其它点最短距离为3。问线段长度是多少？线段上共有多少个位置可以拿来设点

设线段两端点坐标分别为 $a$ 和 $b$，则线段长度为 $|b-a|$。现在我们要在线段上再放一个点 $p$，使得 $p$ 到线段上的其它点的最短距离为 $3$，因此 $p$ 必须位于线段 $ab$ 的垂线范围内，且与 $a$ 和 $b$ 的距离都为 $3$。

设 $ab$ 的方向向量为 $v=b-a$，单位向量为 $u=\dfrac{v}{|v|}$，则 $p$ 到 $a$ 的距离为 $3$ 的条件可以表示为 $(p-a)\cdot u=3$，即 $p\cdot u=\dfrac{3|v|^2-a\cdot v}{|v|^2}$。同理，$p$ 到 $b$ 的距离为 $3$ 的条件可以表示为 $p\cdot u=\dfrac{|v|^2+3a\cdot v}{|v|^2}$。

由于 $p$ 位于 $ab$ 的垂线范围内，因此 $p$ 的坐标可以表示为 $p=a+tu$，其中 $t\in[0,1]$。将 $p$ 的坐标代入上面的两个条件，得到：
$$t=\dfrac{6a\cdot v-4|v|^2\pm\sqrt{16|v|^4-24a\cdot v|v|^2+9a^2}}{2|v|^2}$$

注意到两个解分别对应 $p$ 位于 $ab$ 的左边和右边，只有当两个解都在 $[0,1]$ 范围内才能满足要求。因此线段上可以选择的位置数为 $2$ 或 $4$。线段长度为 $|b-a|=16$。