有n个矩形,每个矩形可以用a,b来描述,表示长和宽。矩形X(a,b)可以嵌套在矩形Y(c,d)中当且仅当a<c,b<d或者b<c,a<d(相当于旋转90度)。例如(1,5)可以嵌套在(6,2)内,但不能嵌套在(3,4)中。请设计一个动态规划

的算法，求出这n个矩形能够嵌套成的最大层数。

首先，我们需要对所有矩形按照面积从大到小进行排序，以便后面进行状态转移时能够保证当前矩形能够嵌套的最大层数已经求出。

假设我们已经将所有矩形按照面积从大到小排序，并且将它们编号为1到n，令dp[i]表示以第i个矩形为最外层矩形时能够嵌套的最大层数。那么状态转移方程为：

dp[i] = max(dp[j]) + 1, 其中j为所有能够嵌套在第i个矩形内部的矩形的编号。

如何判断矩形j能否嵌套在矩形i内部呢？我们可以分别判断矩形j顺时针旋转90度后能否嵌套在矩形i内部，以及矩形i顺时针旋转90度后能否嵌套在矩形j内部。只要其中一种情况成立，就说明矩形j能够嵌套在矩形i内部。

最终答案即为所有dp[i]中的最大值。

时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(n)。

相关问题

有n个矩形，每个矩形可以用a,b来描述，表示长和宽。矩形X(a,b)可以嵌套在矩形Y(c,d)中当且仅当a<c,b<d或者b<c,a<d（相当于旋转90度）。

这是一个典型的矩形嵌套问题，可以使用贪心算法来解决。

首先，将所有矩形按照长或宽的大小从小到大排序。然后，依次枚举每个矩形作为外层矩形，判断它能否嵌套其他矩形。具体来说，如果一个矩形能够嵌套在当前外层矩形中，则将它从待处理的矩形列表中删除，并将它设为当前外层矩形，继续枚举下一个矩形。如果没有矩形能够嵌套在当前外层矩形中，则将当前外层矩形从列表中删除，寻找下一个外层矩形。

最后，如果所有矩形都被嵌套完成，则说明存在一种嵌套方案；否则，不存在这样的方案。

时间复杂度为O(nlogn)，主要是排序的时间复杂度。

有n个矩形，每个矩形可以用a,b来描述，表示长和宽。矩形x(a,b)可以嵌套在矩形y(c,d)中当且仅当a<c,b<d或者b<c,a<d（相当于旋转90度）。例如（1,5）可以嵌套在（6,2）内，但不

可以嵌套在（3,4）内。现在给定n个矩形，请你找出其中最多可以嵌套多少个矩形。

解题思路：

1. 首先将所有矩形按照长和宽从小到大排序，这样可以保证后面的矩形可以嵌套在前面的矩形中。

2. 定义一个数组dp，dp[i]表示以第i个矩形为最外层矩形时，最多可以嵌套多少个矩形。

3. 对于每个矩形i，枚举前面的所有矩形j，如果矩形i可以嵌套在矩形j中，则更新dp[i]为dp[j]+1。

4. 最终答案为dp数组中的最大值。

代码实现：