c++程序实现假设某棵二叉树有N个叶结点。给定这些叶结点的权值，求所有可能的二叉树中带权路径长度（WPL）的最小值。

这是一道经典的树形DP问题，可以用动态规划来解决。

1. 定义状态

设 $f[i][j]$ 表示处理叶子结点 $i$ 到 $j$ 之间的最小 WPL。

2. 状态转移方程

对于 $f[i][j]$，枚举根节点 $k$，将二叉树分成左右子树，得到状态转移方程：

$$f[i][j] = \min\limits_{i \leq k < j}\{f[i][k] + f[k+1][j] + \sum\limits_{t=i}^{j}w[t]\}$$

其中，$w[t]$ 表示第 $t$ 个叶子结点的权值。

3. 边界条件

当 $i=j$ 时，$f[i][j]=w[i]$。

4. 最终答案

$f[1][N]$ 即为所求的所有可能的二叉树中带权路径长度的最小值。

5. 时间复杂度

总共有 $\frac{N(N+1)}{2}$ 个状态，每个状态需要枚举 $O(N)$ 个根节点，所以时间复杂度为 $O(N^3)$。

下面是 C++ 代码实现：

相关问题

请用c++代码解决如下问题： 假设某棵二叉树有N个叶结点。给定这些叶结点的权值，求所有可能的二叉树中带权路径长度（WPL）的最小值

以下是用C++实现哈夫曼树求最小WPL的代码：

#include <iostream>
#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;

struct Node {
    int weight; // 权值
    Node *left, *right; // 左右子节点
    Node(int w) : weight(w), left(nullptr), right(nullptr) {}
};

// 用于比较结点的权值大小，构建最小堆
struct cmp {
    bool operator()(Node* a, Node* b) {
        return a->weight > b->weight;
    }
};

// 构建哈夫曼树
Node* buildHuffmanTree(vector<int> weights) {
    priority_queue<Node*, vector<Node*>, cmp> minHeap; // 最小堆
    for (int i = 0; i < weights.size(); i++) {
        minHeap.push(new Node(weights[i])); // 将所有叶子结点放入堆中
    }
    while (minHeap.size() > 1) {
        Node* left = minHeap.top();
        minHeap.pop();
        Node* right = minHeap.top();
        minHeap.pop();
        Node* parent = new Node(left->weight + right->weight); // 构建新的内部结点
        parent->left = left;
        parent->right = right;
        minHeap.push(parent); // 将新的内部结点放入堆中
    }
    return minHeap.top(); // 最后堆中只剩下一个根结点，即为哈夫曼树的根结点
}

// 计算哈夫曼树的带权路径长度
int getWPL(Node* root, int depth) {
    if (!root->left && !root->right) { // 叶子结点
        return root->weight * depth;
    }
    return getWPL(root->left, depth + 1) + getWPL(root->right, depth + 1);
}

int main() {
    int n;
    cout << "请输入叶子结点的个数：" << endl;
    cin >> n;
    vector<int> weights(n);
    cout << "请输入叶子结点的权值：" << endl;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> weights[i];
    }
    Node* root = buildHuffmanTree(weights);
    int wpl = getWPL(root, 0);
    cout << "最小WPL为：" << wpl << endl;
    return 0;
}

这段代码中，我们先构建了一个最小堆，将所有叶子结点按照权值从小到大放入堆中。然后，我们将堆中的结点两两取出，构建新的内部结点，并将其放回堆中。最后，堆中只剩下一个根结点，即为哈夫曼树的根结点。

接着，我们递归计算哈夫曼树的带权路径长度。如果当前结点是叶子结点，就返回其权值乘以当前深度。否则，就递归计算左右子树的带权路径长度，并相加返回。

最后，我们输出最小WPL即可。

[蓝桥杯 2019 省 AB] 完全二叉树的权值

题目描述

给定一棵非空完全二叉树，树中每个节点都有一个权值，按照层序遍历的顺序依次将每个节点的权值存储到一个一维整型数组中，数组下标从1开始。现在，给定数组下标k和一个整数K，要求计算出以k为根节点的子树中权值不大于K的节点个数。

输入格式

第一行包含两个整数n和K，分别表示数组长度和权值上限。

第二行包含n个整数，其中第i个整数表示下标为i的节点的权值。

第三行包含两个整数k和K，表示待查询的子树以及权值上限。

输出格式

输出一个整数，表示满足条件的节点个数。

数据范围

1≤n≤100000,
1≤K≤10000,
1≤节点权值≤10000

样例

输入样例：

15 8
2 3 5 6 7 8 9 1 3 6 7 8 9 3 2
3 8

输出样例：

3

算法1

(暴力枚举) $O(n^2)$

暴力枚举每个子树中权值不大于K的节点个数

时间复杂度

参考文献

python3 代码

C++ 代码

算法2

(暴力枚举) $O(n^2)$

blablabla

时间复杂度

参考文献

C++ 代码