对权函数ρ(x)= 1-x2, 试求首项系数为1的在[-1,1]区间的正交多项式φn(x), n=0~3

根据正交多项式的定义，我们可以使用施密特正交化方法来求解。

首先，我们需要一个初始的多项式，即 n=0 时，φ0(x)=1。

然后，对于 n>0，我们可以按照以下步骤递推得到 φn(x)：

1. 求出未经过正交化处理的多项式 ψn(x)，即

ψn(x) = x^n

2. 计算正交化系数 αn 和 βn，即

αn = 1 / (1 - x^2) ∫_{-1}^{1} x^n (1 - x^2) dx

βn = ||ψn(x)||^2 = 1 / ∫_{-1}^{1} (ψn(x))^2ρ(x) dx

3. 计算正交多项式 φn(x)，即

φn(x) = (ψn(x) - sum_{k=0}^{n-1} (ψn(x), φk(x))φk(x)) / ||φn(x)||

其中 (·, ·) 表示内积。

根据上述公式，我们可以得到如下的计算过程：

当 n=0 时，φ0(x) = 1。

当 n=1 时，

ψ1(x) = x

α1 = 1/2

β1 = 2/3

φ1(x) = (x - 0) / sqrt(2/3) = sqrt(3/2) x

当 n=2 时，

ψ2(x) = x^2

α2 = 2/3

β2 = 8/15

φ2(x) = (x^2 - sqrt(3/2) x * ∫_{-1}^{1} x^2 sqrt(3/2) x (1 - x^2) dx) / sqrt(8/15)
= (3x^2 - 1) / sqrt(8/15)

当 n=3 时，

ψ3(x) = x^3

α3 = 0

β3 = 48/35

φ3(x) = (x^3 - sqrt(2/5) x (3x^2 - 1) - sqrt(8/15) (x - 0)) / sqrt(48/35)
= (5x^3 - 3x) / sqrt(48/35)

因此，首项系数为1的在[-1,1]区间的正交多项式为 φ1(x) = sqrt(3/2) x，φ2(x) = (3x^2 - 1) / sqrt(8/15)，φ3(x) = (5x^3 - 3x) / sqrt(48/35)。