3. 求过点(2，1，1)且垂直于直线 x  2 y  z  2 的平面方程.

首先，我们可以将直线 x=2，y=z-2表示为参数方程形式：
x=2
y=t
z=t-2
然后，我们可以找到这条直线的方向向量：(0,1,1)。

接下来，我们需要找到一个与这个方向向量垂直的向量作为平面的法向量。由于我们知道这个平面过点(2,1,1)，所以我们可以使用该点到直线的距离的单位向量作为法向量。该距离可以使用点到直线的距离公式计算：
d = |(2-2, 1-t, 1-t+2)·(0,1,1)| / √(0²+1²+1²)
d = |t-2| / √2

因此，法向量为 (0, √2/|t-2|, √2/|t-2|)。我们可以选择任何一个垂直于方向向量的向量，例如(√2, 0, 0)，来求解平面方程。

将点(2,1,1)代入平面方程 Ax+By+Cz+D=0，得到：
√2x + D = 0
因此，平面方程为 √2x + D = 0。为了求出D，我们可以将点(2,1,1)代入该方程：
D = -√2(2) = -2√2

因此，所求平面方程为 √2x - 2√2 = 0，或者化简为 x - √2 = 0。

相关问题

求过直线 3 2 1 0 2 3 2 2 0 x y z x y z            且垂直于已知平面 x  2y  3z  5  0的平面方程

这个问题我可以回答。根据已知平面的法向量 <1, 2, 3>，可以得到直线的方向向量为 <-1, 0, 1>。设直线上一点为 (a, b, c)，则直线的参数方程为：

x = a - t
y = b
z = c + t

其中 t 为参数。由于直线垂直于已知平面，所以直线上任意一点到已知平面的距离为 0。代入已知平面的方程，可以得到：

(a - 2b + 3c - 5) / sqrt(14) = 0

解得 a = 2b - 3c + 5。将参数方程代入直线过点 (3, 2, 0)，可以得到直线方程为：

x = 3 - t
y = 2
z = -t

将直线方程代入已知平面的方程，可以得到：

(3 - t) + 2(2) + 3(-t) - 5 = 0

解得 t = 2/3。将 t 带入直线方程，可以得到直线过点 (1/3, 2, -2/3)。直线的方向向量为 <-1, 0, 1>，所以直线的法向量为 <1, 0, 1>。因此，直线所在的平面的法向量为 <1, 0, 1>，过点 (1/3, 2, -2/3)，所以平面方程为：

x + z - 4/3 = 0