01-复杂度2 maximum subsequence sum (25 分)

题目描述

给定K个整数组成的序列{ N1, N2, ..., NK }，“连续子列”被定义为{ Ni, Ni+1, ..., Nj }，其中 1≤i≤j≤K。“最大子列和”则被定义为所有连续子列元素的和中最大者。例如给定序列{-2, 11, -4, 13, -5, -2}，其最大子列和为20，对应子列为{ 11, -4, 13 }。

现在你应该给出一个算法，计算给定整数序列的最大子列和。

输入格式

输入第1行给出正整数K（K≤10000），第2行给出K个整数，其间以空格分隔。

输出格式

在一行中输出最大子列和。如果序列中所有整数皆为负数，则输出。

输入样例

6
-2 11 -4 13 -5 -2

输出样例

20

算法1

(暴力枚举) $O(n^2)$

暴力枚举所有的子序列，计算它们的和，最后找到最大的和即可。

时间复杂度

枚举所有子序列，时间复杂度为$O(n^2)$。

C++ 代码

算法2

(分治) $O(nlogn)$

将序列分成左右两部分，最大子序列和可能在左边、右边或者跨越中间。如果最大子序列和在左边或者右边，那么可以递归求解；如果最大子序列和跨越中间，那么可以分别求出左边的最大后缀和和右边的最大前缀和，然后将它们相加即可。

时间复杂度

每次递归都会将序列分成两部分，时间复杂度为$O(logn)$，而每次计算跨越中间的最大子序列和的时间复杂度为$O(n)$，所以总的时间复杂度为$O(nlogn)$。

C++ 代码

算法3

(动态规划) $O(n)$

用dp[i]表示以i结尾的最大子序列和，那么dp[i]的值可以由dp[i-1]和a[i]计算得到。如果dp[i-1]是负数，那么dp[i]就是a[i]；否则dp[i]就是dp[i-1]+a[i]。最后找到dp数组中的最大值即可。

时间复杂度

只需要遍历一遍数组，时间复杂度为$O(n)$。

C++ 代码