计算出子载频应满足的条件使得任意两个子载波都正 交 MATLAB 代码

假设子载波数为N，那么任意两个子载波之间的内积为0，即：

<img src="https://latex.codecogs.com/svg.latex?\Large&space;\sum_{n=0}^{N-1}cos(\frac{2\pi k_1 n}{N})cos(\frac{2\pi k_2 n}{N})+\sum_{n=0}^{N-1}sin(\frac{2\pi k_1 n}{N})sin(\frac{2\pi k_2 n}{N})=0" />

其中k1和k2分别表示两个子载波的索引。上式可以简化为：

<img src="https://latex.codecogs.com/svg.latex?\Large&space;\sum_{n=0}^{N-1}cos(\frac{2\pi(k_1-k_2)n}{N})=0" />

或者：

<img src="https://latex.codecogs.com/svg.latex?\Large&space;\sum_{n=0}^{N-1}sin(\frac{2\pi(k_1-k_2)n}{N})=0" />

因为对于任意整数m，cos和sin函数都是mπ的周期函数，所以上述两个式子可以进一步简化为：

<img src="https://latex.codecogs.com/svg.latex?\Large&space;\sum_{n=0}^{N-1}e^{-j\frac{2\pi(k_1-k_2)n}{N}}=0" />

其中e表示自然对数的底数，j表示虚数单位。上式成立的条件是：

<img src="https://latex.codecogs.com/svg.latex?\Large&space;N|(k_1-k_2)" />

因此，满足任意两个子载波正交的条件是：子载波数N必须是k1-k2的公约数。

以下是MATLAB代码实现：

N = 16; % 子载波数
for k1 = 0:N-1
    for k2 = k1+1:N-1
        if gcd(k1-k2,N) ~= 1 % 判断是否正交
            fprintf('子载波%d和子载波%d不正交\n',k1,k2)
        end
    end
end