x趋于0时,1+sinx/1+tanx等于多少
时间: 2024-05-26 21:14:44 浏览: 17
我们可以利用极限的性质来求解这个问题。首先我们将分式中的 $\sin x$ 和 $\tan x$ 都化成 $\cos x$ 的形式:
$$
1 + \frac{\sin x}{1+\tan x} = 1 + \frac{\sin x}{\frac{\sin x}{\cos x}+1} = 1 + \frac{\cos x \cdot \sin x}{\sin x + \cos x} = 1 + \frac{\cos x}{1 + \frac{\sin x}{\cos x}}
$$
然后我们观察分母,注意到当 $x \to 0$ 时,$\frac{\sin x}{\cos x} \to 0/1 = 0$,因此我们可以得到:
$$
1 + \frac{\cos x}{1 + \frac{\sin x}{\cos x}} \to 1 + \frac{\cos 0}{1 + \frac{\sin 0}{\cos 0}} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}
$$
因此,当 $x \to 0$ 时,$1 + \frac{\sin x}{1+\tan x}$ 的极限等于 $\frac{3}{2}$。
相关问题
计算ln(1+1/x)/(sinx*(cos2x+1))的不定积分
首先,化简被积函数:
ln(1 1/x) = ln(x/(x-1)) = ln x - ln(x-1)
cos2x 1 = (1 + cos2x)/2 = (1 + 2cos2x - 1)/2 = cos2x + 1/2
因此,被积函数可以写成:
(ln x - ln(x-1))/(sinx*(cos2x + 1/2))
接下来,分部积分法:
设f(x) = ln x - ln(x-1),g(x) = 1/(sinx*(cos2x + 1/2))
f'(x) = 1/x - 1/(x-1),g'(x) = (-sinx*cos2x - sinx)/(sinx^2*(cos2x + 1/2)^2)
积分式可以写成:
∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - ∫g(x)f'(x)dx
计算f(x)g(x):
f(x)g(x) = (ln x - ln(x-1))/(sinx*(cos2x + 1/2))
计算∫g(x)f'(x)dx:
∫g(x)f'(x)dx = ∫(-sinx*cos2x - sinx)/(sinx^2*(cos2x + 1/2)^2)*(1/x - 1/(x-1))dx
化简:
∫g(x)f'(x)dx = ∫(-cos2x - 1/2)/(sinx*(cos2x + 1/2)^2)dx + ∫(cos2x + 1/2)/(sinx^2*(cos2x + 1/2)^2)dx
对于第一个积分,令u = cos2x + 1/2,du = -2sin2xdx,得到:
∫(-cos2x - 1/2)/(sinx*(cos2x + 1/2)^2)dx = -∫du/u^2 = 1/u + C = 2/(2cos2x + 1) + C
对于第二个积分,可以使用三角恒等式sin2x = 2sinx*cosx:
∫(cos2x + 1/2)/(sinx^2*(cos2x + 1/2)^2)dx = ∫(cos2x + 1/2)/(2sinx*cos2x)^2*(2cosx)dx
令u = cos2x,du = -sin2xdx,得到:
∫(cos2x + 1/2)/(sinx^2*(cos2x + 1/2)^2)dx = -1/sin2x + ∫du/(2u^2) = -1/(2sinxcos2x) + 1/(4cos2x) + C
将f(x)g(x)和∫g(x)f'(x)dx代入分部积分公式,得到:
∫(ln x - ln(x-1))/(sinx*(cos2x + 1/2))dx = (ln x - ln(x-1))*[2/(2cos2x + 1)] - [2/(2sinxcos2x) - 1/(4cos2x)] + C
化简可得:
∫(ln x - ln(x-1))/(sinx*(cos2x + 1/2))dx = ln(x*(2cos2x + 1)/(2sinxcos2x*(x-1))) + 1/(4cos2x) + C
因此,原式的不定积分为:
ln(x*(2cos2x + 1)/(2sinxcos2x*(x-1))) + 1/(4cos2x) + C
如何解x=1+sinx
根据引用\[1\]中的内容,我们可以得到方程x=1+sinx。要解这个方程,我们可以使用二分法。根据引用\[3\]中的代码,我们可以得到以下解法:
```matlab
function erfenfa
clc,clear all
a=0;
b=2;
epsilon=1e-05;
if fun(a)*fun(b)<=0
disp('方程的解是: ')
x0=(a+b)/2;
while abs(fun(x0))>=epsilon
c=(a+b)/2;
if fun(a)*fun(c)<=0
b=c;
else
a=c;
end
x0=(a+b)/2;
end
else
disp('方程无解')
end
x0
function y=fun(x)
y=x-sin(x)
```
根据引用\[2\]中的内容,我们可以得到方程的解为x=π/3+2kπ,其中k为整数。所以,方程x=1+sinx的解为x=π/3+2kπ,其中k为整数。
#### 引用[.reference_title]
- *1* [用matlab程序求y=ln(sinx 1)的导数](https://blog.csdn.net/weixin_30786813/article/details/115833695)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v91^control_2,239^v3^insert_chatgpt"}} ] [.reference_item]
- *2* [有一个函数 f(x,y)=x^2+sinxy+2y ,用matlab写一个程序 输入自变量的值,输出函数的值.](https://blog.csdn.net/weixin_42496673/article/details/116183504)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v91^control_2,239^v3^insert_chatgpt"}} ] [.reference_item]
- *3* [Matlab 利用二分法求解发f(x)=x-sinx在[-1,sqrt2]上的解](https://blog.csdn.net/Lin_YG/article/details/96333801)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v91^control_2,239^v3^insert_chatgpt"}} ] [.reference_item]
[ .reference_list ]