根据提示，在右侧编辑器 Begin-End 区间补充代码，实现普通版本和向量化版本的一维随机游走模拟，计算模拟结果的粒子位置的平均值和标准差。 bernoulli_real(p, n, x)：根据公式计算并返回 n 重伯努利试验成功概率的理论值，其中，p为单次试验的成功概率，n为试验总次数，x为成功试验的总次数（x<=n）； bernoulli_simu(p, n, x, N)：用蒙特卡罗方法计算 n 重伯努利试验成功概率的模拟值，其中，p为单次试验的成功概率(0<=p<=1)，n为试验总次数，x为成功试验的总次数（x<=n），N为蒙特卡罗方法模拟次数。在每次蒙特卡罗模拟过程中，如果具有概率p的那个结果刚好出现x次，那么称这n次实验是成功的，如果M是N次蒙特卡罗模拟中成功的次数，那么概率估计为M/N。

普通版本的一维随机游走模拟：

import random
import math

def random_walk(n, m):
    x = 0
    for i in range(n):
        if random.random() < 0.5:
            x -= 1
        else:
            x += 1
    return x * m

# 模拟粒子位置
N = 1000000
n = 100
m = 0.1
positions = [random_walk(n, m) for i in range(N)]

# 计算粒子位置的平均值和标准差
mean = sum(positions) / N
std_dev = math.sqrt(sum((x - mean)**2 for x in positions) / N)
print("平均值: ", mean)
print("标准差: ", std_dev)

向量化版本的一维随机游走模拟：

import numpy as np

def random_walk_vectorized(n, m, N):
    flips = np.random.choice([-1, 1], size=(N, n))
    positions = np.cumsum(flips, axis=1) * m
    return positions[:, -1]

# 模拟粒子位置
N = 1000000
n = 100
m = 0.1
positions = random_walk_vectorized(n, m, N)

# 计算粒子位置的平均值和标准差
mean = np.mean(positions)
std_dev = np.std(positions)
print("平均值: ", mean)
print("标准差: ", std_dev)