Solve these questions without the help of any software, otherwise, marks will be deducted. Show all the steps in your calculations. (a) What is the coefficient of x17y3 in the expansion of (x - 10y)20 ? (b) What is the coefficient of x2y2z4 in the expansion of (x +2y + z)8 ? (c) Determine the expansion of (2x - 5y)-1 showing the first four terms and determine the range of values of 𝑦/𝑥 for which the sum converges. (d) Use partial fraction method to determine the expansion 3𝑥 + 4/(𝑥 + 2)(3𝑥 − 6) Hence expand the expansion up to and including the term involving x3.

(a) 首先我们可以使用二项式定理展开 (x - 10y)20，然后找到其中的 x^17y^3 项的系数。这个系数可以使用组合数来计算：C(20, 3) 表示从 20 个括号中选择 3 个括号放置 y，剩下的就是 x。所以我们可以得到：

(x - 10y)20 = C(20,0)x20(-10y)0 + C(20,1)x19(-10y)1 + ... + C(20,17)x3(-10y)14 + C(20,18)x2(-10y)16 + C(20,19)x(-10y)19 + C(20,20)y20

系数 C(20,17)x3(-10y)14 就是答案，计算得到：

C(20,17)x3(-10y)14 = 1144066x17y3

所以 x^17y^3 的系数是 1144066。

(b) 同样地，我们可以使用二项式定理展开 (x + 2y + z)^8，然后找到其中的 x^2y^2z^4 项的系数。我们可以把 x^2y^2z^4 项拆成 x^2、y^2 和 z^4 三个部分，然后分别计算它们在展开式中的系数。因为这三个部分相互独立，所以它们的系数可以相乘。所以：

系数 = C(8,2)×(1^2)×(2^2)×(1^4) = 420

所以 x^2y^2z^4 的系数是 420。

(c) 我们可以使用二项式定理展开 (2x - 5y)-1，然后找到其中前四项的系数。展开式可以表示为：

(2x - 5y)-1 = 1/(2x - 5y) = (1/2x)×(1/(1 - 5y/2x))

然后我们可以使用等比数列求和公式来计算展开式的前几项，即：

1/(1 - r) = 1 + r + r^2 + r^3 + ...

其中 r = 5y/2x。所以：

(2x - 5y)-1 = (1/2x)×(1 + 5y/2x + (5y/2x)^2 + (5y/2x)^3 + ...)

展开式的前四项是：

(2x - 5y)-1 ≈ (1/2x)×(1 + 5y/2x + (5y/2x)^2 + (5y/2x)^3)

如果要求出 y/x 的取值范围使得展开式收敛，我们需要使得 5y/2x 的绝对值小于 1，即：

|5y/2x| < 1

所以 y/x 的取值范围是 -2/5 < y/x < 2/5。

(d) 我们可以使用部分分