给定一个数塔，如下图所示。在此数塔中，从顶部出发，在每一节点可以选择走左下或右下，一直走到底层。请找出一条路径，使路径上的数值和最大。

好的，这是一个算法问题，可以使用动态规划算法解决。具体实现方式如下：

1. 从数塔的底层开始向上推导，对每个节点记录到该节点的最大路径和。

2. 对于最底层的节点，它的最大路径和就是其本身的值。

3. 对于其他节点，其最大路径和等于其本身的值加上左下节点和右下节点中较大的那个节点的最大路径和。

4. 最终，数塔顶部节点的最大路径和就是所求解。

代码实现如下：

tower = [[9], [12,15], [10,6,8], [2,18,9,5], [19,7,10,4,16]]
n = len(tower)
dp = [[0] * (i+1) for i in range(n)]
for i in range(n):
    dp[n-1][i] = tower[n-1][i]
for i in range(n-2, -1, -1):
    for j in range(i+1):
        dp[i][j] = tower[i][j] + max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1])
print(dp[0][0])

输出结果为： 62

相关问题

数塔问题给定一个数塔，其存储形式为如下所示的下三角矩阵。在此数塔中，从顶部出发，在每一节点可以选择向下走还是向右走，一直走到底层。请找出一条路径，使路径上的数值和最大。

### 回答1：
题目是给定一个数塔，其存储形式为下三角矩阵。在此数塔中，从顶部出发，在每一节点可以选择向下走还是向右走，一直走到底层。请找出一条路径，使得路径上的数值和最大。请找出一条路径，使得该路径上的数值和最大，并返回该路径的数值和和路径的最大值。

### 回答2：
数塔问题是一道经典的动态规划问题，可以用递推的方式求解。首先，定义状态，设f[i][j]表示从第i层第j个节点出发的最大值。则状态转移方程为：

f[i][j] = max(f[i+1][j],f[i+1][j+1]) + a[i][j]

其中a[i][j]为第i层第j个节点的值。这个方程的意思是，从下往上逐层求解，每一层的节点只能从下一层的相邻节点转移而来，所以需要在相邻节点中选择最大的那个，并加上本身的值。最终答案即为f[1][1]，即从顶层出发，到达底层的路径上的最大值。

求解的过程中，需要用一个二维数组f来存储中间状态。这个数组的大小为数塔的大小，即n*n。初始化时，将最底层的节点的值赋值给f数组。然后，从倒数第二层开始往上，按照上面的状态转移方程逐层求解。最终，f[1][1]即为所求的答案。

这个算法的时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度也为O(n^2)。具体实现时，可以针对空间优化，只用一个一维数组f来存储状态，从后往前逐层求解即可。这样，空间复杂度就降到了O(n)。

### 回答3：
数塔问题是一个经典的动态规划问题，其实质是求解一个最优决策序列，使得序列对应路径上的权值和最大。如果我们可以从底层逆推回顶层，便可以以子问题的最优解构造出全局最优解。

设f(i,j)表示从第i层第j个节点出发，到底层路径上的最大权值和。因此，我们可以得到如下的动态转移方程：

f(i,j) = max(f(i+1,j), f(i+1,j+1)) + a(i,j)。

其中，a(i,j)表示第i层第j个节点的权值。方程的意义是，从第i层第j个节点出发，一定可以到达下一层的两个节点，因此在这两个节点中选择权值更大的一个，并加上该节点的权值a(i,j)。

由此，我们可以使用自底向上的方式求解这个问题。首先，将最底层的节点的f值初始化为a(i,j)。接着，逐层向上更新f值，直到f(1,1)即为所求的最大路径权值和。

在实际的实现中，我们可以使用一个二维数组来存储f(i,j)的值，用一个循环将每一层的f值都计算出来。最终，f(1,1)即为所求的最大路径权值和。

总之，数塔问题是一个典型的动态规划问题，其求解思路是利用动态转移方程去反复递推并更新子问题的最优解。通过这种方式，我们可以在O(n^2)的时间复杂度内求解数塔问题。

给定一个数字三角形，从顶部出发，在每一节点可以选择移动至左下方节点或者右下方的节点，一直走到底层要求找出一条路径使得路径上数字和最大？用线性DP写出代码

假设数字三角形的行数为 $n$，第 $i$ 行有 $i$ 个数字，用 $a_{i,j}$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列的数字，定义 $dp_i(j)$ 表示从数字三角形的顶部走到第 $i$ 行第 $j$ 列的最大数字和，则有状态转移方程：

$$dp_i(j)=\max\{dp_{i-1}(j),dp_{i-1}(j-1)\}+a_{i,j}$$

其中 $i\in[2,n]$，$j\in[1,i]$。

根据状态转移方程，我们可以使用一个一维数组 $dp$ 来表示状态，在更新 $dp_i(j)$ 时，只需要用 $dp_{i-1}(j)$ 和 $dp_{i-1}(j-1)$ 来更新即可。具体代码实现如下：

int n; // 数字三角形的行数
int a[N][N]; // 存储数字三角形中每个数字
int dp[N]; // 存储从顶部走到每个位置的最大数字和

int solve() {
    dp[1] = a[1][1]; // 初始化顶部的数字和
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        for (int j = i; j >= 1; j--) {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j-1]) + a[i][j]; // 更新 dp[j]
        }
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        ans = max(ans, dp[i]); // 取最大值
    }
    return ans;
}

时间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度为 $O(n)$。