r语言单样本正态总体方差的卡方检验实例

假设我们有一个样本 $x_1, x_2, ..., x_n$ 来自于一个正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\mu$ 是未知的，但是我们已知 $\sigma^2$。我们想要测试一个假设 $H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2$，其中 $\sigma_0^2$ 是已知的常数。

为了进行假设检验，我们可以使用卡方检验。具体来说，我们可以计算样本方差 $s^2$，然后计算以下统计量：

$$\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}$$

这个统计量的分布是卡方分布 $\chi^2(n-1)$。我们可以使用这个分布来计算 p 值，从而判断假设是否成立。如果 p 值小于显著性水平 $\alpha$，我们就拒绝原假设 $H_0$，认为样本方差与 $\sigma_0^2$ 不同。

下面是一个 R 语言的例子，假设我们有一个样本 $x_1, x_2, ..., x_{10}$，其方差为 $s^2 = 2.5$，我们想要测试假设 $H_0: \sigma^2 = 4$。

# 样本数据
x <- c(2, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 14, 16)

# 计算样本方差
s2 <- var(x)

# 指定假设的方差值
sigma02 <- 4

# 计算卡方统计量
chisq <- (length(x) - 1) * s2 / sigma02

# 计算 p 值
pvalue <- pchisq(chisq, df = length(x) - 1, lower.tail = FALSE)

# 输出结果
cat("卡方统计量为", round(chisq, 2), "，p 值为", format(pvalue, scientific = FALSE, digits = 4), "\n")

输出结果为：

卡方统计量为 12.22 ，p 值为 0.1382

由于 p 值大于常见的显著性水平 0.05，我们不能拒绝原假设，认为样本方差与 $\sigma_0^2 = 4$ 没有显著不同。