公式法求解递归方程的渐近紧届
时间: 2023-10-05 11:11:29 浏览: 150
对于递归方程 $T(n) = f(n) + \sum_{i=1}^{n} a_i T(g_i(n))$,其中 $f(n)$ 和 $g_i(n)$ 是已知函数,$a_i$ 是常数,可以使用公式法求解其渐近紧界。
公式法的主要思想是将递归式转化为生成函数,再通过对生成函数的处理得到渐近紧界。
具体步骤如下:
1. 定义生成函数 $G(x)$:
$$
G(x) = \sum_{n=0}^{\infty} T(n) x^n
$$
2. 将递归式中的 $T(n)$ 表示为 $G(x)$ 的形式,即:
$$
T(n) = [x^n]G(x)
$$
3. 将递归式中的 $\sum_{i=1}^{n} a_i T(g_i(n))$ 表示为生成函数的形式,即:
$$
\sum_{i=1}^{n} a_i T(g_i(n)) = \sum_{i=1}^{\infty} a_i x^{g_i(n)} [x^n]G(x)
$$
4. 将递归式代入生成函数中得到:
$$
G(x) = \sum_{n=0}^{\infty} [f(n) + \sum_{i=1}^{\infty} a_i x^{g_i(n)}] x^n G(x)
$$
5. 解出 $G(x)$ 并求出其渐近紧界。
这是公式法的基本步骤,实际操作中需要根据具体情况进行调整。需要注意的是,公式法只适用于某些特定类型的递归式,不能解决所有问题。
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