MATLAB1. 求微分方程 y′′−3y′+ y =x 的通解及当 y(0) =1, (1)y = 3时的特解。
时间: 2024-05-04 19:18:26 浏览: 117
用Matlab软件求常微分方程的解(或通解).pdf
根据微分方程 y′′-3y′+y=x 可以写出特征方程:
r^2 - 3r + 1 = 0
解这个方程可以得到两个根:
r1 = (3 + sqrt(5))/2
r2 = (3 - sqrt(5))/2
因此通解可以表示为:
y = c1 * exp(r1 * t) + c2 * exp(r2 * t) + x
其中c1和c2是待定系数,需要通过边界条件来确定。根据题目给出的边界条件,y(0) = 1和y'(0) = 3,可以得到:
c1 + c2 + x = 1
c1 * r1 + c2 * r2 = 3
解这个方程组可以得到:
c1 = (3 - x + (2 - 3x + x^2) * exp(-t * (3 - sqrt(5))/2))/(2 * sqrt(5))
c2 = (x - 3 - (2 + 3x + x^2) * exp(-t * (3 + sqrt(5))/2))/(2 * sqrt(5))
因此特解可以表示为:
y = (3 - x + (2 - 3x + x^2) * exp(-t * (3 - sqrt(5))/2)) / (2 * sqrt(5)) * exp((3 + sqrt(5))/2 * t)
+ (x - 3 - (2 + 3x + x^2) * exp(-t * (3 + sqrt(5))/2)) / (2 * sqrt(5)) * exp((3 - sqrt(5))/2 * t)
+ x
其中x是微分方程右侧的常数项。
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