MATLAB1. 求微分方程 y′′−3y′+ y =x 的通解及当 y(0) =1, (1)y = 3时的特解。

根据微分方程 y′′-3y′+y=x 可以写出特征方程：

r^2 - 3r + 1 = 0

解这个方程可以得到两个根：

r1 = (3 + sqrt(5))/2
r2 = (3 - sqrt(5))/2

因此通解可以表示为：

y = c1 * exp(r1 * t) + c2 * exp(r2 * t) + x

其中c1和c2是待定系数，需要通过边界条件来确定。根据题目给出的边界条件，y(0) = 1和y'(0) = 3，可以得到：

c1 + c2 + x = 1
c1 * r1 + c2 * r2 = 3

解这个方程组可以得到：

c1 = (3 - x + (2 - 3x + x^2) * exp(-t * (3 - sqrt(5))/2))/(2 * sqrt(5))
c2 = (x - 3 - (2 + 3x + x^2) * exp(-t * (3 + sqrt(5))/2))/(2 * sqrt(5))

因此特解可以表示为：

y = (3 - x + (2 - 3x + x^2) * exp(-t * (3 - sqrt(5))/2)) / (2 * sqrt(5)) * exp((3 + sqrt(5))/2 * t)
+ (x - 3 - (2 + 3x + x^2) * exp(-t * (3 + sqrt(5))/2)) / (2 * sqrt(5)) * exp((3 - sqrt(5))/2 * t)
+ x

其中x是微分方程右侧的常数项。