取摆动腿落地前作为庞加莱截面，利用Newton-Raphson 迭代法求解弹簧阻尼无躯干双足机器人单支撑阶段的不动点MATLAB

首先，我们需要定义系统的动力学方程。对于弹簧阻尼无躯干双足机器人的单支撑阶段，可以采用如下模型：

$$ m\ddot{x} = f(t) - k(x-l_0) - c\dot{x} $$

其中，$m$ 是机器人的质量，$x$ 是机器人的位移，$f(t)$ 是机器人受到的外力，$k$ 是弹簧的刚度，$l_0$ 是弹簧的自然长度，$c$ 是阻尼系数。

我们假设机器人的初始位移为 $x_0$，速度为 $\dot{x}_0$。我们需要找到一个不动点 $x^*$，满足 $\dot{x^*}=0$。我们可以使用Newton-Raphson迭代法来求解不动点，迭代公式如下：

$$ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $$

其中，$f(x_n) = m\ddot{x} - f(t) + k(x-l_0) + c\dot{x}$，$f'(x_n)$ 是 $f(x_n)$ 的一阶导数。

我们将上述公式转化为MATLAB代码实现：

function x_star = find_fixed_point(x0, f, df, k, l0, c, m)
    max_iter = 1000;
    tol = 1e-6;
    x = x0;
    for i = 1:max_iter
        fx = f(x, k, l0, c, m);
        dfx = df(x, k, c, m);
        x_new = x - fx/dfx;
        if abs(x_new - x) < tol
            x_star = x_new;
            return
        end
        x = x_new;
    end
    error('Failed to converge after %d iterations', max_iter);
end

function fx = f(x, k, l0, c, m)
    fx = k*(x-l0) - c*sqrt((2*m*g)/(k*(l0^2))) - m*g;
end

function dfx = df(x, k, c, m)
    dfx = k - (c*sqrt((2*m*g)/(k*(l0^2))))/x;
end

% 参数初始化
g = 9.81;
k = 30000;
l0 = 1;
c = 200;
m = 80;
x0 = 0.1;
f_handle = @(x,k,l0,c,m) f(x, k, l0, c, m);
df_handle = @(x,k,c,m) df(x, k, c, m);

% 求解不动点
x_star = find_fixed_point(x0, f_handle, df_handle, k, l0, c, m)

上述代码中，我们首先定义了动力学方程 $f(x)$ 和其一阶导数 $f'(x)$ 的函数句柄 `f_handle` 和 `df_handle`。然后，我们利用 `find_fixed_point` 函数求解不动点。该函数接受初始值 $x_0$、动力学方程函数句柄 `f_handle`、一阶导数函数句柄 `df_handle`、弹簧刚度 $k$、自然长度 $l_0$、阻尼系数 $c$ 和机器人质量 $m$ 作为输入。迭代过程中，我们设定最大迭代次数为 `max_iter`，迭代终止条件为迭代值的变化量小于 `tol`，若无法达到收敛，则抛出错误信息。

最后，我们利用上述代码求解不动点 $x^*$。