编写函数实现灰度图的主成分分析，包括降维输出和重新恢复图像两个子函数的代码实现

以下是实现灰度图的主成分分析的代码实现：

import numpy as np
from PIL import Image

def pca_gray(image_path, dim):
    # 读取灰度图像
    img = Image.open(image_path).convert('L')
    img_arr = np.array(img)
    h, w = img_arr.shape

    # 将图像转化为向量
    img_vec = img_arr.reshape(h*w, 1)

    # 计算均值
    mean = np.mean(img_vec, axis=0)

    # 中心化
    centered = img_vec - mean

    # 计算协方差矩阵
    cov = np.dot(centered.T, centered) / (h*w-1)

    # 计算特征值和特征向量
    eig_vals, eig_vecs = np.linalg.eig(cov)

    # 选择前dim个特征向量
    selected_vecs = eig_vecs[:, :dim]

    # 计算投影矩阵
    proj_mat = np.dot(centered, selected_vecs)

    # 降维输出
    reduced = np.dot(selected_vecs, proj_mat.T).T
    reduced = reduced.reshape(h, w)

    # 重新恢复图像
    restored = np.dot(proj_mat, selected_vecs.T) + mean
    restored = restored.reshape(h, w)

    return reduced, restored

其中，`image_path`为输入的灰度图像路径，`dim`为需要保留的主成分个数。该函数返回一个元组，第一个元素为降维输出的图像矩阵，第二个元素为重新恢复的图像矩阵。

示例用法：

reduced_img, restored_img = pca_gray('example.png', 50)

该函数将读取名为`example.png`的灰度图像，保留前50个主成分，返回降维输出的图像矩阵`reduced_img`和重新恢复的图像矩阵`restored_img`。