100000以内素数个数数学题

这是一个数学问题，可以使用质数筛法求解。质数筛法的基本思想是从2开始，将每个质数的倍数都标记成合数，这样在后面的遍历中就可以省略这些合数，直到遍历到上限为止。

在100000以内，可以使用埃氏筛法，时间复杂度为O(nloglogn)。具体实现方式如下：

1. 初始化一个bool类型的数组isPrime，表示每个数是否是质数，将所有数初始化为true。
2. 从2开始遍历到100000，如果当前数为质数，则将其倍数全部标记为合数（将isPrime中对应位置的值改为false）。
3. 最后遍历一遍isPrime数组，统计其中值为true的元素个数即为100000以内的素数个数。

具体实现代码如下：

def count_primes(n):
    isPrime = [True] * n
    cnt = 0
    for i in range(2, n):
        if isPrime[i]:
            cnt += 1
            for j in range(i * i, n, i):
                isPrime[j] = False
    return cnt

print(count_primes(100000))

输出结果为：9592，即100000以内的素数个数为9592个。

相关问题

数学领域著名的“哥德巴赫猜想”的大致意思是：任何一个大于2的偶数总能表示为两个素数之和。比如：24=5+19，其中5和19都是素数。本实验的任务是设计一个程序，验证20亿以内的偶数都可以分解成两个素数之和。 输入格式： 输入在一行中给出一个(2, 2 000 000 000]范围内的偶数N。 输出格式： 在一行中按照格式“N = p + q”输出N的素数分解，其中p ≤ q均为素数。又因为这样的分解不唯一（例如24还可以分解为7+17），要求必须输出所有解中p最小的解。

本题需要用到筛法求素数，可以使用埃氏筛法或欧拉筛法。由于输入的数N可能很大，直接使用筛法求出所有素数是不现实的。但是根据哥德巴赫猜想，每个偶数都可以表示成两个素数之和，因此我们只需要在素数表中查找与N/2差距最小的两个素数即可。以下是Python的代码实现：

import math

# 判断一个数是否为素数
def is_prime(n):
    if n <= 1:
        return False
    for i in range(2, int(math.sqrt(n))+1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

# 求出小于等于n的所有素数
def get_primes(n):
    primes = []
    for i in range(2, n+1):
        if is_prime(i):
            primes.append(i)
    return primes

# 在素数表中查找与n/2差距最小的两个素数
def find_primes(n, primes):
    i = len(primes) - 1
    while i >= 0:
        if primes[i] <= n/2:
            j = i
            while j >= 0:
                if primes[j] + primes[i] == n:
                    return primes[j], primes[i]
                j -= 1
        i -= 1
    return None

# 主函数
if __name__ == '__main__':
    n = int(input())
    primes = get_primes(n)
    p, q = find_primes(n, primes)
    print(f"{n} = {p} + {q}")

该程序首先定义了一个函数 `is_prime` 用于判断一个数是否为素数。然后定义了一个函数 `get_primes` 用于求出小于等于n的所有素数，这里使用的是简单的遍历判断法。最后定义了一个函数 `find_primes` 用于在素数表中查找与n/2差距最小的两个素数，这里采用的是双指针法，从素数表的末尾开始向前查找。

在主函数中，输入一个偶数n，先用 `get_primes` 函数求出小于等于n的所有素数，然后调用 `find_primes` 函数查找与n/2差距最小的两个素数，最后输出结果即可。