已知T=(x,y,z)=(x,x+2y,y-z),求T在自然基下的矩阵A

首先，我们需要确定自然基。由于T的定义中，输出的向量是由输入的向量的线性组合得到的，因此我们可以使用输入向量的基作为自然基。在这个例子中，自然基为{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}。

接下来，我们需要求出T在自然基下的矩阵A。根据定义，矩阵A的列向量就是T对自然基中每个向量的作用结果。因此，我们可以先计算出T分别作用于自然基中的三个向量的结果：

T(1,0,0) = (1,1,0)
T(0,1,0) = (0,2,1)
T(0,0,1) = (0,-1,-1)

然后，我们将这些结果作为列向量组成的矩阵就是T在自然基下的矩阵A：

A = [1 0 0;
1 2 -1;
0 1 -1]