编写一个正交镜像滤波器处理复单频信号的代码

假设复单频信号为 $x(n) = e^{j\omega_0n}$，其中 $\omega_0$ 是信号的角频率。正交镜像滤波器的传递函数为：

$$H(z) = \frac{1}{2}[1 + z^{-N}]$$

其中 $N$ 是滤波器的阶数，滤波器的长度为 $2N$。正交镜像滤波器的特点是实现简单，且具有线性相位特性。

根据正交镜像滤波器的传递函数，可以得到滤波器的单位脉冲响应为：

$$h(n) = \frac{1}{2}[1 + (-1)^n]\delta(n-N)$$

其中 $\delta(n)$ 是单位脉冲函数。

根据卷积的定义，信号 $y(n)$ 可以通过滤波器 $h(n)$ 对信号 $x(n)$ 进行滤波得到：

$$y(n) = x(n) * h(n) = \sum_{k=-\infty}^\infty x(k)h(n-k)$$

将 $x(n)$ 代入上式可得：

$$y(n) = \frac{1}{2}[1 + (-1)^{n-N}]e^{j\omega_0n}$$

因为 $e^{j\omega_0n}$ 是实数，所以可以进一步简化：

$$y(n) = \begin{cases}
\frac{1}{2}e^{j\omega_0n}, & n \equiv N\pmod{2}\\
0, & \text{otherwise}
\end{cases}$$

代码实现如下：

% 输入信号参数
N = 10;             % 信号的长度
w0 = pi/4;          % 信号的角频率

% 构造输入信号
n = 0:N-1;
x = exp(1j*w0*n);

% 构造正交镜像滤波器
h = 0.5*(1 + (-1).^((0:2*N-1)-N)).*delta([0:2*N-1]-N);

% 进行滤波
y = conv(x, h, 'same');

% 绘制结果
subplot(2,1,1);
stem(n, real(x));
title('Input signal (real part)');
xlabel('n');
ylabel('x(n)');
subplot(2,1,2);
stem(n, real(y));
title('Output signal (real part)');
xlabel('n');
ylabel('y(n)');

其中 `delta` 函数为单位脉冲函数，代码如下：

function y = delta(n)
% DELTA 生成单位脉冲函数
%   y = DELTA(n) 返回 n=0 时为1，其它时刻为0 的序列

y = (n == 0);
end