高斯-勒让德公式 求积分

时间: 2023-08-06 13:06:06 浏览: 18
高斯-勒让德公式可以用于计算形如 $\int_{-1}^1 f(x)\mathrm{d}x$ 的积分,其中 $f(x)$ 是一个连续函数。这个公式的形式为: $$\int_{-1}^1 f(x)\mathrm{d}x \approx \sum_{i=1}^n w_i f(x_i)$$ 其中 $x_i$ 是 $n$ 个勒让德多项式的零点,$w_i$ 是对应的权重。这些零点和权重可以通过求解勒让德多项式的系数来获得。具体来说,对于 $n$ 阶的勒让德多项式 $P_n(x)$,它满足以下递推关系: $$P_0(x) = 1$$ $$P_1(x) = x$$ $$(n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)xP_n(x) - nP_{n-1}(x)$$ 然后将 $P_n(x)$ 的 $n$ 个零点记作 $x_i$,对应的权重 $w_i$ 可以通过以下公式计算: $$w_i = \frac{2}{(1-x_i^2)[P_n'(x_i)]^2}$$ 其中 $P_n'(x_i)$ 是 $P_n(x)$ 在 $x_i$ 处的导数。最终的积分近似值可以通过将 $f(x)$ 在这 $n$ 个零点处的函数值加权求和得到。
相关问题

高斯-勒让德积分公式 求4点的高斯-勒让德积分的坐标和权重系数并证明该积分公式的最高代数精度。

答:高斯-勒让德积分公式可以用以下4点坐标和权重系数来表示:(-1,1/6),(0,2/3),(1,1/6),(1/2,1/3),权重系数分别为:1/6,2/3,1/6,1/3。该积分公式的最高代数精度为2,可以用以下方式来证明:对于任意n次多项式f(x),将其分解为n+1阶多项式f(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn,则f(x)在[-1,1]上的定积分为:I=a0/2+a1/3+a2/4+...+an/(n+1),由此可以看出,I的最高代数精度为2。

高斯-勒让德求积公式的python实现

以下是使用 Python 实现 Gauss-Legendre 求积公式的代码示例: ```python import numpy as np def gauss_legendre(f, a, b, n): # 计算积分区间 [-1, 1] 上的节点和权重 x, w = np.polynomial.legendre.leggauss(n) # 将积分区间 [a, b] 映射到 [-1, 1] y = 0.5 * (b - a) * x + 0.5 * (a + b) # 计算被积函数在节点处的取值 fx = f(y) # 计算积分近似值 result = np.dot(w, fx) * 0.5 * (b - a) return result ``` 其中,`f` 是被积函数,`a` 和 `b` 是积分区间的端点,`n` 是插值节点数。函数内部使用 `numpy.polynomial.legendre.leggauss` 函数计算积分区间 `[-1, 1]` 上的节点和权重,然后将其映射到积分区间 `[a, b]` 上。最后,计算被积函数在节点处的取值,然后使用节点和权重的加权和来计算积分近似值。 例如,要求解在积分区间 `[0, 1]` 上的函数 $f(x) = x^2$ 的积分近似值,可以使用以下代码: ```python def f(x): return x**2 result = gauss_legendre(f, 0, 1, 10) print(result) ``` 其中,`n=10` 表示使用 10 个节点进行插值。运行结果为: ``` 0.3333333333333333 ``` 表示积分近似值为 $1/3$,与精确值 $1/3$ 相等。

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### 回答1: 高斯-勒让德(Gauss-Legendre)积分公式是适用于定积分的一种数值积分方法。它通过选择固定的几个点,并为每个点分配一个权重系数,将积分的计算转化为在这几个点上求函数值的加权平均。 对于4点的高斯-勒让德积分公式,坐标和权重系数如下: x1 = -0.8611363116 w1 = 0.3478548451 x2 = -0.3399810436 w2 = 0.6521451549 x3 = 0.3399810436 w3 = 0.6521451549 x4 = 0.8611363116 w4 = 0.3478548451 该公式的最高代数精度为2,即在积分的范围内,函数的二阶导数有限,积分值可以以2次多项式的精度近似计算。 证明: 设积分公式为F(f),要证明它在积分区间[a,b]内具有2阶精度。 对于任意二阶多项式f(x) = ax^2 + bx + c,有: F(f) = w1f(x1) + w2f(x2) + w3f(x3) + w4f(x4) = (w1ax1^2 + w1bx1 + w1c) + (w2ax2^2 + w2bx2 + w2c) + (w3ax3^2 + w3bx3 + w3c) + (w4ax4^2 + w4bx4 + w4c) = (a(w1x1^2 + w2x2^2 + w3x3^2 + w4x4^2) + b(w1x1 + w2x2 + w3x3 + w4x4) + c(w1 + w2 + w3 + w4)) 由高斯-勒让德公式的性质可知: w ### 回答2: 高斯-勒让德积分是一种用于数值计算定积分的方法。对于4点的高斯-勒让德积分,我们需要求出4个坐标点x1, x2, x3, x4以及对应的权重系数w1, w2, w3, w4。 首先,我们需要构造一个用于求解高斯-勒让德积分的代数方程组。代数方程组的解即为所求的坐标点和权重系数。由高斯-勒让德积分的定义可知,对于任意的多项式f(x)(最高次数为3)来说,积分公式的最高代数精度要求能够精确积分该多项式。 将多项式f(x)用勒让德多项式展开,则有: f(x) = a0P0(x) + a1P1(x) + a2P2(x) + a3P3(x) 代入积分公式,得: ∫(-1,1)f(x)dx = a0∫(-1,1)P0(x)dx + a1∫(-1,1)P1(x)dx + a2∫(-1,1)P2(x)dx + a3∫(-1,1)P3(x)dx 根据勒让德多项式满足的正交性条件,有: ∫(-1,1)Pm(x)Pn(x)dx = 0,其中m ≠ n 代入上式,可以得到对应的代数方程组: w1P0(x1) + w2P0(x2) + w3P0(x3) + w4P0(x4) = ∫(-1,1)P0(x)dx w1P1(x1) + w2P1(x2) + w3P1(x3) + w4P1(x4) = ∫(-1,1)P1(x)dx w1P2(x1) + w2P2(x2) + w3P2(x3) + w4P2(x4) = ∫(-1,1)P2(x)dx w1P3(x1) + w2P3(x2) + w3P3(x3) + w4P3(x4) = ∫(-1,1)P3(x)dx 通过求解上述的代数方程组,可以得到4个坐标点x1, x2, x3, x4和对应的权重系数w1, w2, w3, w4。 至于上述代数方程组的具体求解过程,通常采用数值计算的方法,如高斯消元法或矩阵求逆法等。 最后,要证明该积分公式的最高代数精度,需要证明对于任意的多项式f(x)(最高次数为3)来说,积分公式能够精确积分该多项式。通过将多项式f(x)代入积分公式进行计算,并对比与多项式原函数的精确积分结果,可以验证积分公式的最高代数精度。 ### 回答3: 高斯-勒让德积分是一种常用的数值积分方法,用于计算给定函数在指定区间上的积分值。积分公式的坐标和权重系数可以通过高斯-勒让德多项式的根和权重计算得出。 首先,我们需要计算4点高斯-勒让德积分的坐标和权重系数。根据高斯-勒让德积分的定义,我们要求的坐标和权重系数满足以下条件: ∫(-1,1)Ln(x)dx = wnδn,i (其中,δn,i是克罗内克δ符号,n和i代表坐标和权重系数的序号) Ln(x)是n次勒让德多项式。 根据勒让德多项式的生成递推公式: (2n+1)xnPn(x) = (n+1)Pn+1(x) + nPn-1(x) 其中,Pn(x)是n次勒让德多项式,n为自然数。 通过求解该递推公式可以得到4次勒让德多项式的根x1、x2、x3和x4。根据坐标和权重系数的定义,我们还需要计算权重系数w1、w2、w3和w4。 经过计算,4点高斯-勒让德积分的坐标和权重系数为: x1 = -0.8611363115940526,w1 = 0.3478548451374538 x2 = -0.3399810435848562,w2 = 0.6521451548625461 x3 = 0.3399810435848562,w3 = 0.6521451548625461 x4 = 0.8611363115940526,w4 = 0.3478548451374538 为了验证该积分公式的最高代数精度,我们可以考虑对多项式函数进行积分。根据积分公式的定义,我们有: ∫(-1,1)xn dx ≈ w1xn1 + w2xn2 + w3xn3 + w4xn4 对于n次多项式,如果积分公式精确成立,则有: ∫(-1,1)xn dx = w1xn1 + w2xn2 + w3xn3 + w4xn4 (对于任意n次多项式) 这意味着对于任意n次多项式,通过4点高斯-勒让德积分公式计算的积分值与精确积分结果相等,即具有最高代数精度。 最后,我们可以通过将多项式展开,分别计算上述公式两边的结果,以验证该积分公式的最高代数精度。 综上所述,通过计算得到的4点高斯-勒让德积分的坐标和权重系数,并证明了该积分公式具有最高代数精度。

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