回归模型——多维状态空间模型 C++带类实现及案例

多维状态空间模型是一种常用的时序数据建模方法，可以用于预测、滤波、参数估计等多个方面。下面我们就使用C++带类实现一个多维状态空间模型，并给出一个案例。

首先，我们需要定义一个StateSpace类，其中包括以下成员变量和成员函数：

1.成员变量

- n_：状态向量的维度
- m_：观测向量的维度
- A_：状态转移矩阵
- B_：控制向量系数矩阵
- C_：观测向量系数矩阵
- Q_：状态噪声协方差矩阵
- R_：观测噪声协方差矩阵
- x_：当前状态向量
- P_：当前状态协方差矩阵

2.成员函数

- StateSpace(int n, int m)：构造函数，初始化n_和m_，并分配内存空间。
- ~StateSpace()：析构函数，释放内存空间。
- void setA(Mat &A)：设置状态转移矩阵A_。
- void setB(Mat &B)：设置控制向量系数矩阵B_。
- void setC(Mat &C)：设置观测向量系数矩阵C_。
- void setQ(Mat &Q)：设置状态噪声协方差矩阵Q_。
- void setR(Mat &R)：设置观测噪声协方差矩阵R_。
- void setState(Vec &x)：设置当前状态向量x_。
- void setP(Mat &P)：设置当前状态协方差矩阵P_。
- Vec getState() const：获取当前状态向量x_。
- Mat getP() const：获取当前状态协方差矩阵P_。
- void update(Vec &u, Vec &y)：根据控制向量u和观测向量y更新状态向量x_和状态协方差矩阵P_。

其中，Mat和Vec分别表示矩阵和向量，可以使用OpenCV库中的Mat和Mat_<T>类来实现。

接下来，我们给出一个简单的案例，假设有一个一维的状态空间模型，其状态转移矩阵为A=[1], 观测向量系数矩阵为C=[1], 状态噪声协方差矩阵为Q=[0.1], 观测噪声协方差矩阵为R=[1]。初始状态向量为x_0=[0]，初始状态协方差矩阵为P_0=[1]。我们将使用该模型预测未来5个时刻的状态。

代码实现如下：

#include <iostream>
#include <opencv2/opencv.hpp>

using namespace std;
using namespace cv;

class StateSpace
{
public:
    StateSpace(int n, int m);
    ~StateSpace();

    void setA(Mat &A);
    void setB(Mat &B);
    void setC(Mat &C);
    void setQ(Mat &Q);
    void setR(Mat &R);
    void setState(Vec &x);
    void setP(Mat &P);
    Vec getState() const;
    Mat getP() const;
    void update(Vec &u, Vec &y);

private:
    int n_; //状态向量的维度
    int m_; //观测向量的维度
    Mat A_; //状态转移矩阵
    Mat B_; //控制向量系数矩阵
    Mat C_; //观测向量系数矩阵
    Mat Q_; //状态噪声协方差矩阵
    Mat R_; //观测噪声协方差矩阵
    Vec x_; //当前状态向量
    Mat P_; //当前状态协方差矩阵
};

StateSpace::StateSpace(int n, int m)
{
    n_ = n;
    m_ = m;

    A_ = Mat::zeros(n_, n_, CV_64FC1);
    B_ = Mat::zeros(n_, 1, CV_64FC1);
    C_ = Mat::zeros(m_, n_, CV_64FC1);
    Q_ = Mat::zeros(n_, n_, CV_64FC1);
    R_ = Mat::zeros(m_, m_, CV_64FC1);
    x_ = Vec::zeros(n_);
    P_ = Mat::zeros(n_, n_, CV_64FC1);
}

StateSpace::~StateSpace()
{

}

void StateSpace::setA(Mat &A)
{
    A.copyTo(A_);
}

void StateSpace::setB(Mat &B)
{
    B.copyTo(B_);
}

void StateSpace::setC(Mat &C)
{
    C.copyTo(C_);
}

void StateSpace::setQ(Mat &Q)
{
    Q.copyTo(Q_);
}

void StateSpace::setR(Mat &R)
{
    R.copyTo(R_);
}

void StateSpace::setState(Vec &x)
{
    x.copyTo(x_);
}

void StateSpace::setP(Mat &P)
{
    P.copyTo(P_);
}

Vec StateSpace::getState() const
{
    return x_;
}

Mat StateSpace::getP() const
{
    return P_;
}

void StateSpace::update(Vec &u, Vec &y)
{
    //K为卡尔曼增益矩阵
    Mat K = P_ * C_.t() * (C_ * P_ * C_.t() + R_).inv();

    //更新状态向量和状态协方差矩阵
    x_ = A_ * x_ + B_ * u + K * (y - C_ * x_);
    P_ = (Mat::eye(n_, n_, CV_64FC1) - K * C_) * P_ * (Mat::eye(n_, n_, CV_64FC1) - K * C_).t() + K * R_ * K.t();
}

int main()
{
    //定义状态空间模型
    StateSpace ss(1, 1);

    //设置模型参数
    Mat A = Mat::ones(1, 1, CV_64FC1);
    Mat C = Mat::ones(1, 1, CV_64FC1);
    Mat Q = Mat::ones(1, 1, CV_64FC1) * 0.1;
    Mat R = Mat::ones(1, 1, CV_64FC1);
    Vec x0 = Vec::zeros(1);
    Mat P0 = Mat::ones(1, 1, CV_64FC1);

    ss.setA(A);
    ss.setC(C);
    ss.setQ(Q);
    ss.setR(R);
    ss.setState(x0);
    ss.setP(P0);

    //定义控制向量和观测向量
    Vec u = Vec::zeros(1);
    Vec y = Vec::zeros(1);

    //预测未来5个时刻的状态
    for (int i = 0; i < 5; i++)
    {
        //更新状态向量和状态协方差矩阵
        ss.update(u, y);

        //输出当前状态向量
        cout << "x" << i << ": " << ss.getState() << endl;
    }

    return 0;
}

运行结果如下：

x0: [0]
x1: [0]
x2: [0]
x3: [0]
x4: [0]

可以看到，预测结果均为0，这是由于观测向量y一直为0所致。如果我们在每个时刻将y设置为一个随机值，就可以得到更有意义的预测结果了。