不能使用numpy库，使用自带的math库，给我实现用四阶隐形Adams法求解区间[a,b]的常微分初值问题（柯西问题），并且给我代码,需要输入f epsilon a y(a) b,输出为y(b)，自己定义步长并重新计算步长，函数自变量为x

### 回答1：
好的，那我来给你讲解下使用四阶隐式Adams法求解常微分初值问题的原理和步骤，然后再给你代码实现。

四阶隐式Adams法是一种多步法，需要用到前面4个点的信息来估计下一个点的值，它的一般形式为：
$$
y_{n+1}=y_n+\frac{h}{24}(55f_n-59f_{n-1}+37f_{n-2}-9f_{n-3})
$$

其中，$h$ 为步长，$f_n=f(x_n,y_n)$ 为被积函数。

对于初始点 $y(a)$，我们需要使用一些单步法来计算出 $y_1,y_2,y_3$，然后才能使用四阶隐式Adams法计算 $y_4$。

具体实现步骤如下：

1. 输入 $f$，$\epsilon$，$a$，$y(a)$，$b$，设定初始步长 $h_0$。
2. 使用单步法（如欧拉法或改进的欧拉法）计算出 $y_1,y_2,y_3$。
3. 根据 $y_1,y_2,y_3$，使用四阶隐式Adams法计算出 $y_4$。
4. 计算 $y_5$，用 $y_4,y_3,y_2,y_1$ 和 $y_5$ 来估计误差 $\epsilon$。
5. 根据误差 $\epsilon$，重新计算步长 $h$。
6. 重复步骤 3-5，直到 $x=b$。

下面是使用 math 库实现四阶隐式Adams法的代码：

import math

def implicit_adams(f, epsilon, a, y_a, b):
    # 初始步长
    h = 0.1
    # 初始点
    x = a
    y = y_a
    # 计算 y1, y2, y3
    y1 = y_a + h * f(x, y)
    y2 = y1 + h * f(x + h, y1)
    y3 = y2 + h * f(x + 2 * h, y2)
    # 计算 y4
    y4 = y3 + h / 24 * (55 * f(x + 3 * h, y3) -
                        59 * f(x + 2 * h, y2) +
                        37 * f(x + h, y1) -
                        9 * f(x, y))
    x += h
    y = y4
    # 重复计算直到 x=b
    while x < b:
        # 计算 y5
        y5 = y4 + h / 24 * (9 * f(x + h, y) +
                            19 * f(x, y4) -
                            5 * f(x - h, y3) +
                            f(x - 2 * h, y2))
        # 计算误差
        delta = 19 * abs(y5 - y4) - abs(y5 - 3 * y4 + 3 * y3 - y2)
        # 如果误差太大，调整步长
        if delta > epsilon:
            h /= 2
            continue
        # 更新 y 和 x
        y = y5
        x += h
        # 更新 y1, y2, y3, y4
        y1, y2, y3, y4 = y2, y3, y4, y5
        # 根据误差调整步长
        if delta != 0:
            h *= (epsilon / delta) ** 0.25
    return y

# 测试
def f(x, y):
    return -2 * x * y ** 2

y_b = implicit_adams(f, 1e-6, 0, 1, 1)
print("y(b) = ", y_b)

注意，这里的被积函数 $f(x,y)$ 必须是一个函数，不能是一个 lambda 表达式。因为在计算误差时需要对该函数进行多次调用，如果是 lambda 表达式会导致运行效率低下。

### 回答2：
以下是使用四阶隐式Adams方法求解常微分初值问题的代码：

import math

def adams_method(f, epsilon, a, ya, b):
    h = 0.1  # 步长初始值
    x = a
    y = ya
    while x < b:
        h_next = h  # 下一步步长初始值
        x_next = x + h
        y_next = y + h * f(x, y)  # 使用显式Euler方法作为初始值近似解
        
        while True:
            delta = h/12 * (f(x+y) + 5*f(x_next, y_next) + f(x_next+h, y_next + h*f(x_next, y_next))) - epsilon
            if abs(delta) < 1e-6:  # 判断误差是否满足精度要求
                break
            h /= 2  # 步长减半
            h_next = h
            y_next = y + h * f(x, y)  # 使用显式Euler方法作为初始值近似解
            
        h = h_next
        x = x_next
        y = y_next
        
    return y

# 示例函数，可根据具体问题进行修改
def f(x, y):
    return y*math.cos(x)

a = 0
ya = 1
b = 1
epsilon = 0.01

y = adams_method(f, epsilon, a, ya, b)
print(y)

以上代码中，`adams_method` 函数实现了四阶隐式Adams方法进行求解。主要思路是在每个步长内部进行迭代，通过不断调整步长和近似解，使得误差满足给定的精度要求。

`f` 函数是示例函数，表示常微分方程的右侧函数。在实际应用中，您需要根据具体的问题来重新定义该函数。

输入参数包括 `f` 函数，求解精度 `epsilon`，区间 `[a, b]` 的起始点 `a`，起始值 `ya`，以及终点 `b`。输出为区间 `[a, b]` 上的解 `y(b)`。

请注意，该代码仅作为示例，实际应用中可能需要根据具体情况进行修改。

### 回答3：
首先，我们需要明确Adams法的迭代公式和算法步骤。

Adams法的四阶隐式迭代公式为：

y(n+1) = y(n) + h/24 * (9*f(n+1) + 19*f(n) - 5*f(n-1) + f(n-2))

其中，h为步长，f(n)表示在点n处的函数值。

下面是使用自带的math库实现用四阶隐式Adams法求解区间[a,b]的常微分初值问题的代码：

import math

def adams_method(f, epsilon, a, y_a, b):
    # 定义步长
    h = 0.01
    # 计算步数
    n = int((b - a) / h)
    
    # 初始化x和y的值
    x = a
    y = y_a
    
    # 迭代计算y的值
    for i in range(n):
        # 计算f(n+1)
        f_n1 = f(x + h, y + h * f(x, y))
        
        # 求解y(n+1)
        y_n1 = y + h / 24 * (9 * f_n1 + 19 * f(x, y) - 5 * f(x - h, y - h * f(x - h, y - h * f(x, y))) + f(x - 2 * h, y - 2 * h * f(x - h, y - h * f(x, y))))
        
        # 判断是否满足精度要求
        if abs(y_n1 - y) < epsilon:
            return y_n1
        
        # 更新x和y的值
        x += h
        y = y_n1
    
    # 未达到精度要求，返回值
    return None

# 示例函数f(x, y)
def f(x, y):
    return math.sin(x)

# 调用Adams法求解区间[a,b]的常微分初值问题
a = 0
b = 1
epsilon = 0.0001
y_a = 0
result = adams_method(f, epsilon, a, y_a, b)
print("y(b) = ", result)

在代码中，我们首先定义了步长h，并根据区间[a,b]计算了步数n。然后，使用for循环进行迭代计算，其中迭代公式和步骤根据Adams法给出。最后，如果达到精度要求，即差值小于epsilon，则返回y(b)的值，否则返回None。