矩阵(abbc)在矩阵乘法意义下构成群吗
时间: 2024-05-19 16:12:51 浏览: 15
要判断矩阵(abbc)在矩阵乘法意义下构成群,需要满足以下条件:
1. 封闭性:任意两个矩阵相乘仍为该群中的矩阵。
2. 结合律:矩阵相乘满足结合律。
3. 单位元存在:存在一个单位元矩阵,使得任何一个矩阵与单位元矩阵相乘,都等于该矩阵本身。
4. 逆元存在:对于任何一个矩阵,都存在一个逆元矩阵,使得该矩阵与逆元矩阵相乘,等于单位元矩阵。
现在来逐个检验:
1. 封闭性:设矩阵A = (a b,b c),矩阵B = (b c,c d),则:
AB = (a b,b c)(b c,c d)=(ab+bc bc+cd,b^2+c^2 cd)
显然,AB仍为该群中的矩阵。因此,该群满足封闭性。
2. 结合律:矩阵相乘满足结合律,因此该群满足结合律。
3. 单位元存在:单位元矩阵为(1 0,0 1)。对于任何一个矩阵A = (a b,b c),有:
A(1 0,0 1)= (a b,b c)(1 0,0 1)=(a b,b c)
(1 0,0 1)A=(1 0,0 1)(a b,b c)=(a b,b c)
因此,该群满足单位元存在。
4. 逆元存在:设矩阵A = (a b,b c),则逆元矩阵为:
A^-1 = 1 / (ad-bc) * (c -b,-b a)
对于任何一个矩阵A = (a b,b c),有:
AA^-1 = (a b,b c)1 / (ad-bc) * (c -b,-b a)= 1 / (ad-bc) * (ac-b^2 ab-bc,bc-ac ad-b^2)
A^-1A = 1 / (ad-bc) * (c -b,-b a)(a b,b c)= 1 / (ad-bc) * (ac-b^2 bc-ac,-ab-bc ad-b^2)
可以验证,AA^-1和A^-1A均等于单位元矩阵。因此,该群满足逆元存在。
综上所述,矩阵(abbc)在矩阵乘法意义下构成群。
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