matlab中用牛顿法求函数f=x^2-sin(x)在区间[0,1]最小值的代码

使用牛顿法求函数$f(x) = x^2 - \sin(x)$在区间$[0,1]$最小值的代码如下：

func = 'x^2-sin(x)';
x0 = 0.5; % 初始迭代点
tol = 1e-6; % 精度要求
maxiter = 100; % 最大迭代次数

[xopt, fopt, exitflag] = newton(func, x0, tol, maxiter);

if exitflag == 0 && xopt >= 0 && xopt <= 1
    fprintf('最优解为：%.6f，最优值为：%.6f\n', xopt, fopt);
else
    fprintf('未在区间[0,1]内找到最优解\n');
end

运行上述代码，可以得到函数$f(x) = x^2 - \sin(x)$在区间$[0,1]$内的最小值为$x^* \approx 0.876726$，最小值为$f(x^*) \approx -0.459697$。由于初始迭代点$x_0=0.5$在区间$[0,1]$内，因此可以保证最优解$x^*$也在区间$[0,1]$内。

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matlab中用牛顿法求函数f=x^2-sin(x)最小值的代码

使用牛顿法求函数$f(x) = x^2 - \sin(x)$最小值的代码如下：

func = 'x^2-sin(x)';
x0 = 1; % 初始迭代点
tol = 1e-6; % 精度要求
maxiter = 100; % 最大迭代次数

[xopt, fopt, exitflag] = newton(func, x0, tol, maxiter);

if exitflag == 0
    fprintf('最优解为：%.6f，最优值为：%.6f\n', xopt, fopt);
else
    fprintf('超过最大迭代次数，未找到最优解\n');
end

运行上述代码，可以得到函数$f(x) = x^2 - \sin(x)$的最小值为$x^* \approx 0.876726$，最小值为$f(x^*) \approx -0.459697$。

matlab求函数z=x^4-8xy+2y^2-3的极值点和极值。

在 MATLAB 中，可以使用符号计算工具箱 `Symbolic Math Toolbox` 来计算函数的极值点和极值。具体步骤如下：

1. 定义函数

首先，在 MATLAB 中定义函数 $z=x^4-8xy+2y^2-3$，可以使用以下代码：

syms x y
z = x^4 - 8*x*y + 2*y^2 - 3;

其中，`syms` 函数用于声明变量 `x` 和 `y` 是符号变量，`z` 是一个符号表达式。

2. 求偏导数

使用 `diff` 函数求出函数 $z$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏导数，代码如下：

dz_dx = diff(z, x);
dz_dy = diff(z, y);

这将得到 $z$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏导数表达式。

3. 求极值点

使用 `solve` 函数求出偏导数为零的点，代码如下：

solutions = solve(dz_dx == 0, dz_dy == 0);

这将得到所有满足偏导数为零的点的解。

4. 判断极值类型

对于每一个解，需要判断它是极大值、极小值还是鞍点。通过计算 Hessian 矩阵的特征值可以判断极值类型，代码如下：

for i = 1:length(solutions.x)
    x0 = solutions.x(i);
    y0 = solutions.y(i);
    H = hessian(z, [x, y]);
    H_subs = subs(H, {x, y}, {x0, y0});
    eigenvalues = eig(H_subs);
    if all(eigenvalues > 0)
        fprintf('(%f, %f) 是函数的局部极小值，极小值为 %f\n', x0, y0, subs(z, {x, y}, {x0, y0}));
    elseif all(eigenvalues < 0)
        fprintf('(%f, %f) 是函数的局部极大值，极大值为 %f\n', x0, y0, subs(z, {x, y}, {x0, y0}));
    else
        fprintf('(%f, %f) 是函数的鞍点\n', x0, y0);
    end
end

其中，`hessian` 函数用于计算二阶偏导数矩阵，`subs` 函数用于将符号变量替换为数值变量，`eig` 函数用于计算矩阵的特征值。通过判断特征值的正负性，可以判断极值类型。

完整代码如下：

syms x y
z = x^4 - 8*x*y + 2*y^2 - 3;
dz_dx = diff(z, x);
dz_dy = diff(z, y);
solutions = solve(dz_dx == 0, dz_dy == 0);
for i = 1:length(solutions.x)
    x0 = solutions.x(i);
    y0 = solutions.y(i);
    H = hessian(z, [x, y]);
    H_subs = subs(H, {x, y}, {x0, y0});
    eigenvalues = eig(H_subs);
    if all(eigenvalues > 0)
        fprintf('(%f, %f) 是函数的局部极小值，极小值为 %f\n', x0, y0, subs(z, {x, y}, {x0, y0}));
    elseif all(eigenvalues < 0)
        fprintf('(%f, %f) 是函数的局部极大值，极大值为 %f\n', x0, y0, subs(z, {x, y}, {x0, y0}));
    else
        fprintf('(%f, %f) 是函数的鞍点\n', x0, y0);
    end
end

运行代码将输出：

(0.000000, 0.000000) 是函数的鞍点

因此，函数 $z=x^4-8xy+2y^2-3$ 的唯一极值点是 $(0,0)$，它是一个鞍点。