阻感负载的单相半波整流电路公式推导

单相半波整流电路的电路图如下：


其中，$V_i$为输入电压，$R_L$为阻感负载，$D$为二极管。

根据电路图，可以列出电路方程：

$$V_i = V_R + V_L + V_D$$

其中，$V_R$为电阻负载的电压，$V_L$为阻感负载的电压，$V_D$为二极管的正向压降。

对于阻感负载，其电压和电流之间的关系为：

$$V_L = L\frac{di_L}{dt}$$

其中，$L$为电感，$i_L$为阻感负载的电流。

将上式带入电路方程中，得到：

$$V_i = V_R + L\frac{di_L}{dt} + V_D$$

整理得到：

$$\frac{di_L}{dt} = \frac{1}{L}(V_i - V_R - V_D)$$

根据二极管的正向导通特性，当二极管导通时，其正向压降为0，当二极管截止时，其正向压降为$V_D$。因此，当二极管导通时，阻感负载的电流为：

$$i_L = \frac{V_i - V_R}{L}t$$

当二极管截止时，阻感负载的电流为0。因为单相半波整流电路只有一半周期内二极管导通，所以阻感负载的平均电流为：

$$I_L = \frac{1}{T}\int_{0}^{T/2} i_L dt = \frac{1}{2L}\int_{0}^{T/2} (V_i - V_R) dt$$

其中，$T$为电路的周期。

因为单相半波整流电路中，$V_R$为定值，所以可以将其提出来，得到：

$$I_L = \frac{1}{2L}\int_{0}^{T/2} V_i dt - \frac{V_R}{2L}\int_{0}^{T/2} dt$$

因为单相交流电压的周期为$T$，所以可以将积分区间改为一个周期内的一半，得到：

$$I_L = \frac{1}{2L}\int_{0}^{T/2} V_i dt - \frac{V_R}{4L}T$$

因为单相交流电压$V_i$的周期为$T$，所以可以将积分区间改为一个周期，得到：

$$I_L = \frac{1}{2LT}\int_{0}^{T} V_i dt - \frac{V_R}{4L}T$$

根据交流电压的平均值公式，可以将$\frac{1}{2LT}\int_{0}^{T} V_i dt$替换为$V_{rms}$，得到：

$$I_L = \frac{V_{rms}}{2L} - \frac{V_R}{4L}T$$

因为单相半波整流电路中，$V_R = R_LI_L$，所以可以将$V_R$替换为$R_LI_L$，得到：

$$I_L = \frac{V_{rms}}{2L} - \frac{R_L}{4L}I_LT$$

整理得到：

$$(1 + \frac{R_L}{2L}T)I_L = \frac{V_{rms}}{2L}$$

因为单相半波整流电路只有一半周期内二极管导通，所以$T=\frac{1}{2f}$，其中$f$为电源的频率。将$T$带入上式中，得到：

$$(1 + \frac{R_L}{4Lf})I_L = \frac{V_{rms}}{2L}$$

最终得到阻感负载的电流公式：

$$I_L = \frac{V_{rms}}{2L(1 + \frac{R_L}{4Lf})}$$