分析log(1+5*x)-log(1+3*x)的单调性和凹凸性，并求其极大值和最大值 ,写出计算过程

答：该函数单调递减，凹函数；极大值点x= 0，极大值为0；最大值点x = 3/5，最大值为log(3/2)。计算过程：log(1 5*x)-log(1 3*x) = log(5/3x)；对x求导得到f'(x) = 5/3x^(-2)；当f'(x)=0，x = 0；代入x=0，f(0) = log(5/3*0) = 0；再求最大值，当f'(x)<0，即5/3x^(-2)<0，解得x = 3/5，代入求得最大值f(3/5) = log(3/2)。