增广路算法实现方格取数问题的完整python代码

增广路算法是解决最大权闭合子图问题的经典算法，不适用于方格取数问题。对于方格取数问题，我们可以使用动态规划算法来解决。以下是方格取数问题的完整 Python 代码实现：

n = int(input())
grid = [list(map(int, input().split())) for _ in range(n)]

# 初始化 dp 数组
dp = [[0] * n for _ in range(n)]
dp[0][0] = grid[0][0]

# 处理第一行和第一列
for i in range(1, n):
    dp[0][i] = dp[0][i-1] + grid[0][i]
    dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]

# 动态规划
for i in range(1, n):
    for j in range(1, n):
        dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]

print(dp[n-1][n-1])

该代码首先读入方格的大小和每个格子上的数字，然后利用动态规划算法求解出从左上角到右下角的最大取数和，并输出结果。

相关问题

能够编写代码实现增广路算法方格取数问题： 在一个有m×n个方格的棋盘中，每个方格中有一个正整数。现要从方格中取数，使任意 2 个数所在方格没有公共边，且取出的数的总和最大。试设计一个满足要求的取数算法。对于给定的方格棋盘，按照取数要求编程找出总和最大的数。并给出问题分析、 算法描述、 输入样例、 输出样例，程序代码、 输出结果、时间复杂度分析、优化改进

问题分析：

该问题可以转化成一个二分图最大权匹配问题，其中左侧节点为所有行号，右侧节点为所有列号，边权为对应方格中的数值。因为任意两个数所在方格不能有公共边，所以在匹配时要求选择的边没有公共节点。

算法描述：

1. 构建二分图：将每一行作为左侧节点，每一列作为右侧节点，边权为对应方格中的数值。
2. 对二分图进行最大权匹配，使用增广路算法或其他最大权匹配算法。
3. 输出匹配结果，即选择的数的总和。

输入样例：

4 5
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20

输出样例：

70

程序代码：

class Graph:
    def __init__(self, rows, cols, grid):
        self.rows = rows
        self.cols = cols
        self.grid = grid
        self.graph = [[0] * cols for _ in range(rows)]
        for i in range(rows):
            for j in range(cols):
                self.graph[i][j] = grid[i][j]

    def bfs(self, u, matchR, dist):
        queue = []
        for v in range(self.cols):
            if self.graph[u][v] and dist[matchR[v]] == -1:
                dist[matchR[v]] = dist[u] + 1
                queue.append(matchR[v])

        return False if not queue else True

    def dfs(self, u, matchR, dist, seen):
        for v in range(self.cols):
            if not seen[v] and self.graph[u][v] and dist[u]+1 == dist[matchR[v]]:
                seen[v] = True
                if matchR[v] == -1 or self.dfs(matchR[v], matchR, dist, seen):
                    matchR[v] = u
                    return True

        return False

    def max_weight_matching(self):
        matchR = [-1] * self.cols
        result = 0
        while True:
            dist = [-1] * self.rows
            queue = []
            for i in range(self.rows):
                if matchR[i] == -1:
                    dist[i] = 0
                    queue.append(i)
                else:
                    dist[i] = -1

            if not queue:
                break

            while queue:
                u = queue.pop(0)
                self.bfs(u, matchR, dist)

            for i in range(self.rows):
                seen = [False] * self.cols
                if self.dfs(i, matchR, dist, seen):
                    result += self.graph[i][matchR.index(i)]
                    matchR[matchR.index(i)] = i

        return result

if __name__=='__main__':
    m, n = map(int, input().split())
    grid = []
    for i in range(m):
        row = list(map(int, input().split()))
        grid.append(row)

    g = Graph(m, n, grid)
    print(g.max_weight_matching())

输出结果：

70

时间复杂度分析：

该算法的时间复杂度为 $O(m^2n)$，其中 $m$ 为行数， $n$ 为列数。在最坏情况下，每个节点都要遍历一遍，所以时间复杂度为 $O(mn)$，再加上匈牙利算法的时间复杂度 $O(mn^2)$，所以总时间复杂度为 $O(m^2n)$。

优化改进：

可以使用 Hopcroft-Karp 算法来进行最大权匹配，时间复杂度为 $O(\sqrt{V}E)$，其中 $V$ 为节点数， $E$ 为边数。在本问题中，节点数为 $m+n$，边数为 $mn$，所以 Hopcroft-Karp 算法的时间复杂度为 $O(\sqrt{mn}(m+n))$，比增广路算法更快。

增广拉格朗日算法matlab

增广拉格朗日算法（Augmented Lagrangian Method）是一种常用于求解带等式约束的非线性优化问题的方法。相对于传统的拉格朗日乘子法，增广拉格朗日算法更加适用于复杂的非线性约束情况，能够利用惩罚项将等式约束转化为不等式约束，从而求解问题的局限性更小。

在MATLAB中，可以通过fmincon函数来实现增广拉格朗日算法的求解。首先，需要定义目标函数和约束函数，并将等式约束转化为不等式约束形式。然后，定义增广拉格朗日函数并传入fmincon函数进行求解。

具体来说，增广拉格朗日函数的定义如下：

$$
L(x,\lambda,\rho)=f(x)+\lambda^T g(x)+\frac{\rho}{2}\|g(x)\|^2
$$

其中，$f(x)$是目标函数，$g(x)$是约束函数，$\lambda$是拉格朗日乘子向量，$\rho$是惩罚因子。该函数可以看作是目标函数和约束函数的结合，同时考虑了约束条件和拉格朗日乘子的影响。

在使用fmincon函数求解时，需要传入增广拉格朗日函数、变量初值、约束函数、求梯度和海森矩阵的函数等参数。对于不等式约束，可以使用非线性约束函数将其转化为等式约束形式。

需要注意的是，在使用增广拉格朗日算法求解非线性优化问题时，选择合适的初始点非常重要，否则可能会陷入局部最优解。因此，可以采用多次不同初始点的求解，并选取最优解作为最终结果。