一元三次方程求根公式卡尔达诺方法
时间: 2023-07-28 11:10:30 浏览: 157
一元三次方程求根公式的卡尔达诺方法,也称为“卡尔达诺公式”,是一种求解一元三次方程的方法。该方法的基本思路是将原方程转化为一个形如y^3+py+q=0的方程,然后通过一些代数变换得到y的解,再通过逆变换得到x的解。具体步骤如下:
1. 将原方程ax^3+bx^2+cx+d=0转化为y^3+py+q=0的形式。令x=y-b/3a,则原方程变为a(y-b/3a)^3+b(y-b/3a)^2+c(y-b/3a)+d=0。将其中的y^3项展开,得到y^3+(3ac-b^2)/3a*y-(2b^3-9abc+27a^2d)/27a^3=0。将其中的p=(3ac-b^2)/3a和q=(2b^3-9abc+27a^2d)/27a^3,得到y^3+py+q=0。
2. 通过代数变换求解y的值。令y=u+v,代入y^3+py+q=0,得到u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0。令3uv+p=0,则有u^3+v^3=-q。将v=-u/p代入u^3+v^3=-q中,得到u^6+qu^3-p^3/27=0。令z=u^3,代入该方程,得到z^2-qz-p^3/27=0。解出z的值,再通过u=z^(1/3)求解出u和v的值。
3. 通过逆变换求解x的值。将y=u+v代入x=y-b/3a,得到x=u+v-b/3a。将u和v的值代入该式中,求解出x的值。
需要注意的是,当p^3+27q^2=0时,该方程的根中存在重根。此时,可以将y^3+py+q=0分解为(y+q^(1/3))^3=-(p/3)q^(1/3),得到y=-q^(1/3)/3-(p/3)^(1/3)和y=-q^(1/3)/3+(2p/3)^(1/3)(重根)。再通过x=y-b/3a求解出x的值。
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