PATH is NL-complete

是的，PATH 问题是 NL-complete 的。PATH 问题是一个经典的计算机科学问题，它要求确定在无向图中是否存在一条从一个节点到另一个节点的路径。NL 是一个复杂性类，它包含了所有可以在对数空间中非确定性图灵机上解决的问题。NL-complete 是一个子集，它包含了所有 NL 中的问题，且可以在对数空间中归约为 NL 中的任何问题。

证明 PATH 是 NL-complete 的一个方法是通过将其他 NL-complete 问题归约为 PATH。例如，可以使用 Savitch's 定理将 ST-CONNECTIVITY 问题归约为 PATH，ST-CONNECTIVITY 问题要求确定有向图中是否存在从一个节点到另一个节点的路径。由于 ST-CONNECTIVITY 是 NL-complete 的，因此 PATH 也是 NL-complete 的。

因此，PATH 问题是在对数空间中可解决的最困难的问题之一，通常被认为是无法在多项式时间内解决的。

相关问题

NL-complete

NL-complete是指一个问题既属于NL语言类，又是NL中其他所有问题的可规约问题。也就是说，如果一个问题可以在NL中规约为NL-complete问题，那么这个问题就是NL-complete问题。

NL-complete问题的意义在于它们是NL中最难的问题之一，因此，如果一个问题可以在NL中规约为NL-complete问题，那么它就是NL中的最难问题之一。同时，NL-complete问题也是理论研究的重要对象，因为它们可以帮助我们理解NL语言类的性质和特点。

一些例子包括：2-SAT、ST-connectivity、Hamiltonian path、subgraph isomorphism等等。这些问题都可以在NL中解决，并且它们之间可以相互规约。因此，它们都是NL-complete问题。

证明 2SAT is NL-complete。证明包括: 1) 证明 2SAT 属于 NL；2)证明 PATH ≤L 2SAT。

首先证明2SAT属于NL。

定义2SAT问题为：给定一个包含n个布尔变量的公式，每个变量的取值要么为真，要么为假，求判断这个公式是否有一个满足条件的布尔变量取值。可以证明2SAT问题可以转化为一个有向图，对于每个变量，建立两个点，分别表示它的真和假，对于每个子句(x ∨ y)，建立两条有向边(¬x, y)和(¬y, x)，表示如果x为假，则y必须为真，如果y为假，则x必须为真。然后，对于每个点x，求它的强连通分量，检查是否存在一个强连通分量，它同时包含x和¬x，如果存在这样的强连通分量，则2SAT问题无解，否则有解。

可以证明，这个算法可以在NL中实现。因为我们可以使用非确定性图遍历算法（如BFS），依次遍历每个点的强连通分量，并检查是否存在包含x和¬x的强连通分量。这个算法的空间复杂度为O(n)，因此，2SAT属于NL。

接着证明PATH ≤L 2SAT。

定义PATH问题为：给定一个有向图G和两个节点s和t，求是否存在一条从s到t的路径。我们可以将PATH问题转化为2SAT问题。对于图G中的每个节点v，建立两个变量xv和¬xv，表示节点v是否在路径中。对于每条有向边(u, v)，添加两个子句(¬xu, xv)和(¬xv, xu)，表示如果节点u在路径中，则节点v也必须在路径中。然后，添加两个子句(xs, ¬xt)和(¬xs, xt)，表示起点s必须在路径中，终点t不能在路径中。对于每个节点v，添加子句(xv, ¬¬xv)，表示节点v必须为真或者路径中没有包含它。最后，将所有子句联合起来，求解2SAT问题。

可以证明，如果2SAT问题有解，那么就存在一条从s到t的路径。因为有解意味着存在一种变量取值，使得每个子句都至少有一个变量为真。对于每个节点v，如果xv为真，那么节点v在路径中，否则节点v不在路径中。因为路径中的每个节点都满足条件，所以从s到t存在一条路径。

另一方面，如果存在一条从s到t的路径，那么2SAT问题有解。因为存在一条从s到t的路径，可以将路径上的节点全部标记为真，其他节点全部标记为假。对于每个子句(x ∨ y)，如果x为假，则y必须为真，否则x必须为真。因为路径上的每个节点都满足条件，所以2SAT问题有解。

因此，可以得出PATH ≤L 2SAT的结论，即2SAT是NL-complete的。