求由a(1,1,-1),b(0,2,1),c(1,-1,2)三点所确定的平面方程，并求出该三角形的面积

由于三点不共线，可以利用向量法求解平面方程。

先求得两个向量：

$\vec{AB} = \begin{pmatrix}0-1 \\ 2-1 \\ 1-(-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}$

$\vec{AC} = \begin{pmatrix}1-1 \\ -1-1 \\ 2-(-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ -2 \\ 3\end{pmatrix}$

再求得法向量：

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0 \\ -2 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix}$

于是平面方程为：

$7x+3y+2z+d=0$

代入任意一点，比如 $A(1,1,-1)$，解得 $d=-12$，所以平面方程为：

$7x+3y+2z-12=0$

三角形的面积可以通过向量叉乘求解：

$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0 \\ -2 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix}$

面积为：

$S = \frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2}\sqrt{7^2+3^2+2^2} = \frac{1}{2}\sqrt{62}$