解决度量空间中 如何证明inf{d(x,z)+d(z,y)}≤d(x,y)+inf{d(z,z)}

在度量空间 $(X,d)$ 中，我们有以下三角不等式成立：

$$d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y)$$

对于任意的 $x,y,z \in X$。这个不等式的意义是，从 $x$ 到 $y$ 的路径可以通过先到达 $z$，再从 $z$ 到 $y$ 来实现，而这个路径的长度不会超过直接从 $x$ 到 $y$ 的距离。

我们可以对上面的不等式进行一些变形：

$$d(x,z) + d(z,y) \geq d(x,y) - d(z,z)$$

等式两边同时加上 $d(z,z)$：

$$d(x,z) + d(z,y) + d(z,z) \geq d(x,y)$$

因为 $d(z,z) = 0$，所以：

$$d(x,z) + d(z,y) \geq d(x,y)$$

这就是我们想要证明的不等式。因此：

$$\inf_{z \in X} (d(x,z) + d(z,y)) \leq d(x,y) \leq d(x,y) + \inf_{z \in X} d(z,z)$$

其中，$\inf$ 表示下确界，$z$ 是 $X$ 中的任意元素。上面的不等式表明，对于度量空间 $(X,d)$ 中的任意 $x,y \in X$，$\inf_{z \in X} (d(x,z) + d(z,y))$ 是 $x$ 到 $y$ 的最短距离的一个下界，$d(x,y) + \inf_{z \in X} d(z,z)$ 是 $x$ 到 $y$ 的一个上界。