limt->0 [ln(sin2t+cost)]/t的求导过程

我们可以使用洛必达法则来求解这个极限：

limt->0 [ln(sin2t cost)]/t

= limt->0 [ln(sin2t) + ln(cost)]/t

= limt->0 [(ln(sin2t) - ln(2t)) + ln(2) + ln(cost)]/t

= limt->0 [(ln(sin2t/2t) - ln(2)) + ln(2) + ln(cost)]/t (使用ln(a/b) = ln(a) - ln(b)的性质)

= limt->0 [ln(sin2t/2t)/2t * 2t + ln(2)/t + ln(cost)/t]/t

= limt->0 [ln(sin2t/2t)/2t * 2 + ln(2)/t + ln(cost)/t]/1 (使用ln(x)/x的极限为1的性质)

= 2 * limt->0 ln(sin2t/2t)/2t + limt->0 ln(2)/t + limt->0 ln(cost)/t

= 2 * limt->0 sin2t/2t / (2 * cos2t/2t) + limt->0 ln(2)/t + limt->0 ln(cost)/t (使用ln(x)的导数为1/x的性质)

= 2 * limt->0 sin2t/2t * cos2t/2t / 2 + limt->0 ln(2)/t + limt->0 ln(cost)/t (使用乘法法则)

= limt->0 sin2t / t + limt->0 ln(2)/t + limt->0 ln(cost)/t

= 0 + 0 + ln(1)/1 (使用sin x / x的极限为1的性质)

= 0

因此，limt->0 [ln(sin2t cost)]/t的导数为0。