计算ln-det函数的导数
时间: 2023-06-01 22:02:00 浏览: 299
假设 $A$ 是一个 $n \times n$ 的矩阵,那么 ln-det 函数定义为 $\ln \det(A)$。我们需要计算它的导数,即 $\frac{\partial}{\partial A} \ln \det(A)$。
为了计算这个导数,我们需要使用矩阵微积分的一些基本定理。首先,我们有以下公式:
$$\frac{\partial}{\partial A} \det(A) = \det(A) \cdot (A^{-1})^T$$
其中,$A^{-1}$ 表示矩阵 $A$ 的逆矩阵。这个公式可以通过使用矩阵的余子式展开式来证明。
接下来,我们可以使用链式法则来计算 ln-det 函数的导数。假设 $B = \ln \det(A)$,那么我们有:
$$\frac{\partial B}{\partial A} = \frac{\partial \ln \det(A)}{\partial \det(A)} \cdot \frac{\partial \det(A)}{\partial A}$$
现在,我们可以将 $\frac{\partial \det(A)}{\partial A}$ 替换为上面的公式,得到:
$$\frac{\partial B}{\partial A} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \det(A) \cdot (A^{-1})^T = (A^{-1})^T$$
因此,ln-det 函数的导数等于 $A$ 的逆矩阵的转置。