洛谷 P1640 BZOJ 1854 [SCOI2010]连续攻击游戏

这道题目需要进行博弈论的思考。我们可以使用动态规划来解决这道题目。

首先，我们可以定义 $f_{i,j}$ 表示当前剩下 $i$ 到 $j$ 这些数时，当前玩家最多能获得的分数。我们可以发现，在这个状态中，当前玩家只能从 $i$ 或者 $j$ 中选择一个数进行取走，然后将剩下的部分转化为对手的状态。因此，我们可以得到如下的转移方程：

$$
f_{i,j}=\max\{a_i+\min\{f_{i+2,j},f_{i+1,j-1}\},a_j+\min\{f_{i+1,j-1},f_{i,j-2}\}\}
$$

其中 $a_i$ 表示第 $i$ 个数的分值。上述方程的含义是，当前玩家可以选择取走 $i$ 或者 $j$，如果取走 $i$，则转化为对手的状态是 $f_{i+2,j}$ 或者 $f_{i+1,j-1}$，如果取走 $j$，则转化为对手的状态是 $f_{i,j-2}$ 或者 $f_{i+1,j-1}$。当前玩家希望获得的分数是最大的，因此需要取两种情况中的较大值。

最终答案就是 $f_{1,n}$，表示从 $1$ 到 $n$ 这些数中，当前玩家最多能获得的分数。

最后，需要注意的是，我们需要使用逆序的方式来进行动态规划，即从小到大枚举区间长度 $len$，然后枚举区间起点 $i$，最终计算 $f_{1,n}$。这样可以保证在计算 $f_{i,j}$ 时，$f_{i+1,j}$ 和 $f_{i,j-1}$ 已经被计算出来了。