洛谷 P1640 BZOJ 1854 [SCOI2010]连续攻击游戏

这道题目需要进行博弈论的思考。我们可以使用动态规划来解决这道题目。

首先，我们可以定义 $f_{i,j}$ 表示当前剩下 $i$ 到 $j$ 这些数时，当前玩家最多能获得的分数。我们可以发现，在这个状态中，当前玩家只能从 $i$ 或者 $j$ 中选择一个数进行取走，然后将剩下的部分转化为对手的状态。因此，我们可以得到如下的转移方程：

$$
f_{i,j}=\max\{a_i+\min\{f_{i+2,j},f_{i+1,j-1}\},a_j+\min\{f_{i+1,j-1},f_{i,j-2}\}\}
$$

其中 $a_i$ 表示第 $i$ 个数的分值。上述方程的含义是，当前玩家可以选择取走 $i$ 或者 $j$，如果取走 $i$，则转化为对手的状态是 $f_{i+2,j}$ 或者 $f_{i+1,j-1}$，如果取走 $j$，则转化为对手的状态是 $f_{i,j-2}$ 或者 $f_{i+1,j-1}$。当前玩家希望获得的分数是最大的，因此需要取两种情况中的较大值。

最终答案就是 $f_{1,n}$，表示从 $1$ 到 $n$ 这些数中，当前玩家最多能获得的分数。

最后，需要注意的是，我们需要使用逆序的方式来进行动态规划，即从小到大枚举区间长度 $len$，然后枚举区间起点 $i$，最终计算 $f_{1,n}$。这样可以保证在计算 $f_{i,j}$ 时，$f_{i+1,j}$ 和 $f_{i,j-1}$ 已经被计算出来了。

相关问题

bzoj2908数据下载

BZOJ 2908 题目是一个数据下载任务。这个任务要求下载指定的数据文件，并统计文件中小于等于给定整数的数字个数。

为了完成这个任务，首先需要选择一个合适的网址来下载文件。我们可以使用一个网络爬虫库，如Python中的Requests库，来帮助我们完成文件下载的操作。

首先，我们需要使用Requests库中的get()方法来访问目标网址，并将目标文件下载到我们的本地计算机中。可以使用以下代码实现文件下载：

import requests

url = '目标文件的网址'
response = requests.get(url)
with open('本地保存文件的路径', 'wb') as file:
    file.write(response.content)

下载完成后，我们可以使用Python内置的open()函数打开已下载的文件，并按行读取文件内容。可以使用以下代码实现文件内容读取：

count = 0
with open('本地保存文件的路径', 'r') as file:
    for line in file:
        # 在这里实现对每一行数据的判断
        # 如果小于等于给定整数，count 加 1
        # 否则，不进行任何操作

在每一行的处理过程中，我们可以使用split()方法将一行数据分割成多个字符串，并使用int()函数将其转换为整数。然后，我们可以将该整数与给定整数进行比较，以判断是否小于等于给定整数。

最后，我们可以将统计结果打印出来，以满足题目的要求。

综上所述，以上是关于解决 BZOJ 2908 数据下载任务的简要步骤和代码实现。 希望对您有所帮助。

BZOJ2627 伯努利数

这是一道经典的组合数学题目，需要一些基本的组合数学知识。

首先，我们先来了解一下伯努利数。伯努利数是组合数学中的一类数列，它们的递推式如下：

$$B_0 = 1, B_n = -\frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^{n-1}{{n+1}\choose{i}}B_i$$

其中 $n\geq 1$，${n\choose k}$ 表示组合数，$B_n$ 表示第 $n$ 个伯努利数。

接下来，我们考虑如何计算 $\sum_{i=0}^{n}{n+1\choose{i}}B_i$。根据二项式定理，我们有：

$$(1+x)^{n+1} = \sum_{i=0}^{n+1}{n+1\choose{i}}x^i$$

对上式两边求导可以得到：

$$(n+1)(1+x)^n = \sum_{i=1}^{n+1}{n+1\choose{i}}ix^{i-1}$$

将 $x=1$ 带入上式，得到：

$$(n+1)\cdot 2^n = \sum_{i=1}^{n+1}{n+1\choose{i}}i$$

注意到 $B_0=1$，我们可以对伯努利数的递推式进行变形：

\begin{aligned} B_n &= -\frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^{n-1}{{n+1}\choose{i}}B_i \\ &= -\frac{1}{n+1}\left({{n+1}\choose{0}}B_0 + \sum_{i=1}^{n}{{n+1}\choose{i}}B_i\right) \\ &= -\frac{1}{n+1}\left({{n+1}\choose{0}}B_0 + \sum_{i=1}^{n}{n+1\choose{i}}B_i\right) + \frac{1}{n+1}{{n+1}\choose{0}}B_0 \\ &= -\frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^{n}{n+1\choose{i}}B_i + \frac{1}{n+1} \end{aligned}

因此，我们有：

$$\sum_{i=0}^{n}{n+1\choose{i}}B_i = (n+1)(B_{n+1}-1)$$

这个式子可以通过数学归纳法进行证明。

现在，我们已经得到了 $\sum_{i=0}^{n}{n+1\choose{i}}B_i$ 的计算公式，只需要预处理出前 $n$ 个伯努利数就可以在 $O(n)$ 的时间复杂度内解决这个问题了。