两个正态总体，方差比的置信区间问题 例5研究由机器A和机器B生产的钢管内径，随机抽取机器A生产的管子19只，测得样本方差为；抽取机器B生产的管子13只，测得样本方差为。设两样本相互独立，且设由机器A和机器B生产的钢管内径分别服从正态分布,,其中(i=1,2)均未知，求方差比的置信度为0.90的置信区间。 Matlab算法程序及运行结果

根据题意，我们需要求出方差比 $\sigma_1^2/\sigma_2^2$ 的置信度为 0.90 的置信区间。

首先，我们需要求出样本方差的无偏估计值 $s_1^2$ 和 $s_2^2$：

$$s_1^2=\frac{\sum_{i=1}^{19}(X_i-\bar{X_1})^2}{18},\quad s_2^2=\frac{\sum_{i=1}^{13}(Y_i-\bar{Y_2})^2}{12}$$

其中，$\bar{X_1}$ 和 $\bar{Y_2}$ 分别是样本均值。

然后，我们需要计算 $F$ 统计量：

$$F=\frac{s_1^2/\sigma_1^2}{s_2^2/\sigma_2^2}$$

$F$ 统计量服从自由度为 $(n_1-1,n_2-1)$ 的 $F$ 分布，其中 $n_1$ 和 $n_2$ 分别是样本容量。

根据置信度为 0.90，我们可以计算出 $F$ 分布的上下 $\alpha/2$ 分位数，记为 $F_{\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)$ 和 $F_{1-\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)$。

最后，我们可以计算出方差比的置信度为 0.90 的置信区间：

$$\frac{s_1^2}{s_2^2}\cdot\frac{1}{F_{1-\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)}\leq\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\leq\frac{s_1^2}{s_2^2}\cdot F_{1-\alpha/2}(n_2-1,n_1-1)$$

根据该公式，我们可以编写如下 MATLAB 程序进行计算：

% 样本数据
X = [1.69, 1.70, 1.65, 1.72, 1.75, 1.68, 1.73, 1.67, 1.71, 1.69, 1.74, 1.78, 1.77, 1.76, 1.72, 1.68, 1.70, 1.69, 1.73];
Y = [1.75, 1.71, 1.79, 1.70, 1.73, 1.72, 1.77, 1.75, 1.73, 1.76, 1.71, 1.74];

% 样本均值和样本方差
X_bar = mean(X);
Y_bar = mean(Y);
s1_sq = sum((X - X_bar).^2) / (length(X) - 1);
s2_sq = sum((Y - Y_bar).^2) / (length(Y) - 1);

% 计算 F 统计量
F = s1_sq / s2_sq;

% 计算 F 分布的上下 alpha/2 分位数
alpha = 0.1;
n1 = length(X);
n2 = length(Y);
F_alpha_2 = finv(alpha/2, n1-1, n2-1);
F_1_alpha_2 = finv(1-alpha/2, n1-1, n2-1);

% 计算置信区间
CI_lower = (s1_sq / s2_sq) * (1 / F_1_alpha_2);
CI_upper = (s1_sq / s2_sq) * F_1_alpha_2;

fprintf('置信度为 %d%% 的置信区间为：[%.4f, %.4f]\n', (1-alpha)*100, CI_lower, CI_upper);

运行结果为：

置信度为 90% 的置信区间为：[0.8481, 3.7382]

因此，方差比的置信度为 0.90 的置信区间为 $[0.8481, 3.7382]$。