柯西不等式的初等证明方法
时间: 2023-03-10 17:24:01 浏览: 101
柯西不等式的初等证明方法主要有两种:一种是利用函数增加性,另一种是利用函数减少性。首先,利用函数增加性证明柯西不等式,即假设函数f(x)在区间[a,b]上是单调递增函数,把函数f(x)在[a,b]上的图像分割成n等份,即[a,b]=[x_0,x_1]∪[x_1,x_2]∪...∪[x_{n-1},x_n],其中x_0=a,x_n=b,则可以得到:f(b)-f(a)=f(x_n)-f(x_0)≥f(x_1)-f(x_0)+f(x_2)-f(x_1)+...+f(x_n)-f(x_{n-1}),把这个等式两边同乘以b-a,即得到柯西不等式:f(b)-f(a)≥(b-a)·[f(x_1)-f(x_0)+f(x_2)-f(x_1)+...+f(x_n)-f(x_{n-1})]。另外,利用函数减少性证明柯西不等式,原理与上面的增加性完全相反。
相关问题
用向量证明柯西不等式
柯西不等式是指:对于任意的向量 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{y}$,都有
$$ \left\| \mathbf{x} + \mathbf{y} \right\|^2 + \left\| \mathbf{x} - \mathbf{y} \right\|^2 \geq 2 \left( \left\| \mathbf{x} \right\|^2 + \left\| \mathbf{y} \right\|^2 \right) $$
这个不等式。
证明:
首先,我们有 $\left\| \mathbf{x} + \mathbf{y} \right\|^2 = (\mathbf{x} + \mathbf{y}) \cdot (\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \mathbf{x} \cdot \mathbf{x} + 2 \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} + \mathbf{y} \cdot \mathbf{y}$。
同理,$\left\| \mathbf{x} - \mathbf{y} \right\|^2 = \mathbf{x} \cdot \mathbf{x} - 2 \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} + \mathbf{y} \cdot \mathbf{y}$。
所以 $\left\| \mathbf{x} + \mathbf{y} \right\|^2 + \left\| \mathbf{x} - \mathbf{y} \right\|^2 = 2 \mathbf{x} \cdot \mathbf{x} + 2 \mathbf{y} \cdot \mathbf{y} = 2 \left( \left\| \mathbf{x} \right\|^2 + \left\| \mathbf{y} \right\|^2 \right)$。
所以柯西不等式成立。
用泰勒展开证明柯西不等式
我很高兴回答你关于泰勒展开证明柯西不等式的问题。根据柯西不等式,函数f(x)在定义域[a,b]上的任意n+1个点x0,x1,x2,…,xn上的每一点上的n阶导数的最大值与区间[a,b]上的所有n阶导数的积分之和的乘积的绝对值之间的乘积关系,即:|f^(n)(x)|*(b-a)^n <= M*n!, 其中M为函数f在区间[a,b]上的n阶导数的绝对值的最大值,n!为n的阶乘。