softmax分类器原理

softmax分类器是一种常用的分类器，主要用于多分类问题。其原理可以简单概括为将输入向量通过一个线性变换得到一个新的向量，然后将该向量的每个元素通过指数函数进行转换，并对所有元素求和得到一个标量值。最后将每个元素除以该标量值，得到的就是一个概率分布，表示不同类别的概率。

具体来说，设输入向量为 $x \in \mathbb{R}^d$，权重矩阵为 $W \in \mathbb{R}^{k\times d}$，偏置向量为 $b \in \mathbb{R}^k$，则 softmax 分类器的输出为：

$$
p_i = \frac{e^{w_i x + b_i}}{\sum_{j=1}^k e^{w_j x + b_j}} \quad (i=1,2,\dots,k)
$$

其中 $w_i$ 是 $W$ 的第 $i$ 行，$b_i$ 是 $b$ 的第 $i$ 个元素。$p_i$ 表示输入属于第 $i$ 类的概率。

在训练过程中，通常使用交叉熵损失函数来衡量预测值与真实标签之间的差距，其定义为：

$$
\mathcal{L} = -\sum_{i=1}^k y_i \log p_i
$$

其中 $y_i$ 表示真实标签，通常使用 one-hot 编码表示。目标是最小化该损失函数，可以使用梯度下降等优化算法进行求解。