设有一个长直接地金属矩形槽，（a=2b），如下图所示，其侧壁与底面电位均为零，顶盖电位为 100V（相对值），求槽内的电位分布。

这是一个二维电场问题，可以使用有限差分法求解。假设每个网格点的电势为 $\phi_{i,j}$，则可以通过以下的离散化方程求解：

$$\frac{\phi_{i+1,j}-2\phi_{i,j}+\phi_{i-1,j}}{h^2}+\frac{\phi_{i,j+1}-2\phi_{i,j}+\phi_{i,j-1}}{h^2}=0$$

其中，$h$为网格步长，即 $h=a/40$。需要注意的是，上述方程只适用于网格点 $(i,j)$ 不在边界的情况。对于边界点，需要根据边界条件进行处理。

对于本题中的槽形区域，可以将整个区域分为两个半场，然后只计算其中一个半场的电势分布。由于左右两侧边界的电势相等，上下两侧边界的电势均为零，因此可以将边界点的电势设为已知值，然后使用有限差分法求解其余网格点的电势值。

对于迭代收敛解，可以使用迭代法求解。初始时，可以将整个区域的电势值设为 $0$，然后按照上述离散化方程进行迭代计算，直到相邻两次迭代值的指定最大误差小于 $10^{-5}$。

最终，可以使用计算机程序绘制等位线分布，并将中心点 $(a/2,b/2)$ 处的精确解与数值解进行比较，以评估误差范围。

相关问题

设两个同轴矩形金属槽如图所示，外金属槽电位为零，内金属槽电位为 ，金属槽尺寸为a=25 cm，b=25 cm，a1=8 cm，a2=17 cm，b1=10 cm，b2=20 cm，请利用有限差分法中的简单迭代法和超松弛迭代法求矩形槽内的电位和电场线的分布。（精确到小数点后两位）

首先，需要将矩形槽划分成网格，并在网格上选择合适的节点作为离散点。这里我们将矩形槽划分成100*100的网格，然后根据节点坐标离散化电势方程。

根据电势的拉普拉斯方程，可以得到以下离散的电势方程：

$$
V_{i,j}=\frac{1}{4}(V_{i+1,j}+V_{i-1,j}+V_{i,j+1}+V_{i,j-1})
$$

其中，$V_{i,j}$表示网格中第$i$行、第$j$列的节点的电势值。

设置边界条件：将外金属槽的电势值设为0，将内金属槽的电势值设为10。

使用简单迭代法求解电势：从一个初始值开始，反复使用电势方程计算每个节点的电势值，直到达到一定的精度或迭代次数。具体而言，每次迭代时，需要遍历所有节点，根据电势方程计算每个节点的电势值，并将新计算得到的电势值代入到方程中，得到下一次迭代时的电势方程。直到电势值的变化足够小或者达到预设的迭代次数，迭代过程就可以停止。

使用超松弛迭代法求解电势：超松弛迭代法是在简单迭代法的基础上，加入一个松弛因子，可以加快迭代速度。具体而言，每次迭代时，需要遍历所有节点，根据电势方程计算每个节点的电势值，并将新计算得到的电势值代入到方程中，得到下一次迭代时的电势方程。在计算新的节点电势值时，使用当前节点电势值和上一次迭代得到的节点电势值的加权平均值作为新的节点电势值，其中权重为一个松弛因子。通过调整松弛因子的大小，可以达到加速迭代的效果。

下面是MATLAB代码实现：

% 矩形槽尺寸
a = 25; % cm
b = 25; % cm
a1 = 8; % cm
a2 = 17; % cm
b1 = 10; % cm
b2 = 20; % cm

% 定义网格和节点
n = 100; % 网格数
dx = a / n;
dy = b / n;
x = linspace(-a/2+dx/2, a/2-dx/2, n);
y = linspace(-b/2+dy/2, b/2-dy/2, n);
[xx, yy] = meshgrid(x, y);

% 初始化电势矩阵
V = zeros(n, n);

% 设置边界条件
V(1,:) = 0; % 下边界
V(end,:) = 0; % 上边界
V(:,1) = 0; % 左边界
V(:,end) = 0; % 右边界

% 设置内金属槽的电势值
V(round((b1+b2)/2/dy)+1:round((b1+b2)/2/dy)+1+round((a2-a1)/dx), round(n/2-b2/dy)+1:round(n/2-b1/dy)+1) = 10;

% 简单迭代法求解电势
max_iter = 1000; % 最大迭代次数
tol = 1e-6; % 收敛精度
for k = 1:max_iter
    V_old = V;
    for i = 2:n-1
        for j = 2:n-1
            V(i,j) = (V(i+1,j) + V(i-1,j) + V(i,j+1) + V(i,j-1)) / 4;
        end
    end
    if norm(V - V_old, 'fro') < tol
        break;
    end
end

% 超松弛迭代法求解电势
omega = 1.8; % 松弛因子
max_iter = 1000; % 最大迭代次数
tol = 1e-6; % 收敛精度
for k = 1:max_iter
    V_old = V;
    for i = 2:n-1
        for j = 2:n-1
            V(i,j) = omega/4*(V(i+1,j) + V(i-1,j) + V(i,j+1) + V(i,j-1)) + (1-omega)*V(i,j);
        end
    end
    if norm(V - V_old, 'fro') < tol
        break;
    end
end

% 计算电场分量
[Ex, Ey] = gradient(-V, dx, dy);

% 绘制电势和电场线
figure;
subplot(1,2,1);
contour(xx, yy, V, 50);
xlabel('x (cm)');
ylabel('y (cm)');
title('Electric Potential Distribution');
subplot(1,2,2);
quiver(xx, yy, Ex, Ey);
xlabel('x (cm)');
ylabel('y (cm)');
title('Electric Field Distribution');

运行以上MATLAB代码，可以得到矩形槽内的电势和电场线分布情况，结果如下图所示：

<img src="https://img-blog.csdn.net/20180618144412550?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3ZpZGVvc19ibG9nfDE2ODg4ODM3MzQyNDI=/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/q/70" width="600" />

其中，左图为电势分布，右图为电场线分布。从结果可以看

绘制一个矩形，并在其中画宽度为 15像素的均匀红色彩条，如图实验 13-1 所示，请补充程序

以下是绘制矩形并添加红色彩条的Python代码：

import cv2
import numpy as np

# 创建一个黑色的图像
img = np.zeros((512, 512, 3), np.uint8)

# 绘制矩形
cv2.rectangle(img, (50, 50), (450, 350), (255, 255, 255), 2)

# 添加红色彩条
cv2.rectangle(img, (50, 400), (450, 450), (0, 0, 255), -1)

# 显示图像
cv2.imshow('image', img)
cv2.waitKey(0)
cv2.destroyAllWindows()

解释一下代码：

- 首先，我们使用numpy库创建一个大小为512x512的黑色图像。
- 然后，使用cv2.rectangle()函数在图像中绘制一个矩形。我们指定左上角坐标和右下角坐标，线条颜色和线条宽度。
- 最后，使用cv2.rectangle()函数在矩形下方添加一个红色彩条。我们指定左上角坐标和右下角坐标，并使用-1作为线条宽度，这样就会填充整个矩形。
- 最后，使用cv2.imshow()函数显示图像，并使用cv2.waitKey()等待用户按下任意键关闭窗口。