波前恢复算法中的模式法和区域法的区别在哪里，从公式推导来说明

波前恢复算法中的模式法和区域法都是通过对观测数据进行推导，从而恢复出未知的物体的相位信息。其中，模式法是基于物体的局部特征来推导相位信息的，而区域法则是利用整个物体的统计特征来推导相位信息。

具体来说，模式法将物体的相位信息看做是由一系列局部的相位模式组成的。它首先通过对物体的局部区域进行采样，得到一系列局部相位模式，然后通过对这些相位模式进行拼接或组合，得到整个物体的相位信息。模式法的公式推导如下：

$$f(x,y)=\sum_{k=1}^K c_k g_k(x,y)$$

其中，$f(x,y)$是物体的复振幅，$g_k(x,y)$是局部相位模式，$c_k$是相应的权值。模式法的核心思想就是在给定的一组相位模式中，寻找最优的权值组合，使得通过拼接或组合得到的相位信息与观测数据尽可能接近。

而区域法则是利用整个物体的统计特征来推导相位信息。它假设物体的相位信息在不同的区域内服从不同的分布，并且通过对这些分布进行建模，来推导出整个物体的相位信息。区域法的公式推导如下：

$$f(x,y)=\sum_{i=1}^M w_i \phi_i(x,y)$$

其中，$w_i$是区域权重，$\phi_i(x,y)$是第$i$个区域内的相位分布。区域法的核心思想就是在给定的一组区域权重和相位分布下，寻找最优的组合，使得通过加权求和得到的相位信息与观测数据尽可能接近。

综上所述，模式法和区域法的核心区别在于它们对物体相位信息的建模方式不同。模式法是基于局部特征的分解，而区域法则是基于整体统计的建模。