Definition [first-order formulas] Let S be a signature. The (first-order) formulas are strings of symbols over the alphabet of S, inductively defined as follows: (1) If t0, t1 are terms, then t0 = t1 is an formula. (2) If t0, . . . ,tn−1 are terms, and R is an n-ary relation symbol in S, then R(t0, . . . ,tn−1) is an formula (3) If ϕ is an formula, then ¬ϕ is an formula (4) If ϕ0, ϕ1 are formulas, then (ϕ0 ∨ ϕ1), (ϕ0 ∧ ϕ1), (ϕ0 → ϕ1), (ϕ0 ↔ ϕ1) are formulas (5) If ϕ is an formula and x is a variable, then ∀x : ϕ and ∃x : ϕ are both formulas。翻译理解分析这些内容

这段文字是关于一阶逻辑中公式的定义。在一个给定的符号集合S（称为signature）中，一个公式是由S中的符号构成的字符串。这些公式可以通过以下方式归纳定义：

(1) 如果t0，t1是项，则t0 = t1是一个公式。
(2) 如果t0，…，tn−1是项，且R是S中的一个n元关系符号，则R(t0,…,tn−1)是一个公式。
(3) 如果ϕ是一个公式，则¬ϕ也是一个公式。
(4) 如果ϕ0，ϕ1是公式，则(ϕ0 ∨ ϕ1)、(ϕ0 ∧ ϕ1)、(ϕ0 → ϕ1)和(ϕ0 ↔ ϕ1)都是公式。
(5) 如果ϕ是一个公式，x是一个变量，则∀x : ϕ和∃x : ϕ都是公式。

其中，项是由符号集合S中的变量、常量和函数符号构成的一个表达式。关系符号是S中的一种符号，表示一种n元关系。公式是一种用于描述S中对象之间关系的表达式，可以理解为一种命题。其中，∀x表示“对于任意x”，∃x表示“存在一个x”，→表示“蕴含”，∧表示“合取”，∨表示“析取”，↔表示“等价”。这些逻辑符号可以用于表达不同的逻辑关系和命题。