jensen-shannon divergence

时间: 2023-04-29 08:03:13 浏览: 27
Jensen-Shannon散度是一种用于衡量两个概率分布之间差异的指标。它是基于Kullback-Leibler散度的一种改进，可以避免KL散度的不对称性和无限大问题。Jensen-Shannon散度可以用于聚类、分类、信息检索等领域。它的计算方法比较简单，可以通过计算两个概率分布的平均分布来得到。
相关问题

jensen-shannon计算

Jensen-Shannon计算是一种用于比较概率分布之间相似度的方法。它基于信息论中的Kullback-Leibler散度，并对其进行了改进，以解决KL散度在处理离散分布时可能出现的问题。 Jensen-Shannon计算将两个概率分布P和Q结合起来，并计算它们的平均分布M。这一计算过程可以用以下公式表示： M = (P + Q) / 2 然后，Jensen-Shannon计算通过计算M与P和Q之间的KL散度的平均值来衡量P和Q之间的相似度： JS(P,Q) = (KL(P,M) + KL(Q,M)) / 2 其中，KL(P,M)表示P相对于M的KL散度，KL(Q,M)表示Q相对于M的KL散度。 Jensen-Shannon计算的结果介于0和1之间。当P与Q完全相同时，Jensen-Shannon计算为0；而当P与Q完全不同，或者其中一个概率分布为零时，Jensen-Shannon计算为1。因此，Jensen-Shannon计算可以用于判断两个概率分布之间的相似度程度。 Jensen-Shannon计算在信息检索、文本分类和聚类分析等领域广泛应用。它能够有效地衡量概率分布之间的差异，帮助我们在处理概率分布数据时进行精确的比较和分析，从而提高了数据处理和模型建立的准确性和效果。

JS散度（Jensen-Shannon divergence）是一种用于衡量两个概率分布之间相似度的指标。

是的，JS散度是一种用于衡量两个概率分布之间相似度的指标。它是基于KL散度（Kullback-Leibler divergence）的改进版本，可以避免KL散度的一些问题，如非对称性和无定义性。JS散度被广泛应用于信息检索、数据挖掘等领域中。在JS散度中，两个概率分布之间的距离越小，它们之间的相似度就越高。

相关推荐

python怎么计算Jensen-Shannon的p

Jensen-Shannon距离是两个概率分布之间的度量，可以用以下代码计算： python import numpy as np def jensen_shannon(p, q): # 将p和q归一化为概率分布 p = p / np.sum(p) q = q / np.sum(q) # 计算中间分布m m = (p + q) / 2 # 计算Kullback-Leibler散度 kl_p = np.sum(p * np.log2(p / m)) kl_q = np.sum(q * np.log2(q / m)) # 计算Jensen-Shannon距离 js = (kl_p + kl_q) / 2 return js 其中，p和q是两个概率分布，可以是列表、数组或向量等形式。函数返回Jensen-Shannon距离的值。

jensen–shannon散度

Jensen-Shannon散度是一种用于测量两个概率分布之间的相似度的方法。它是由Jensen和Shannon于1991年提出的，是一种对Kullback-Leibler散度的改进。 Jensen-Shannon散度通过结合两个概率分布的平均值来衡量它们的相似性。它计算了两个概率分布之间的相对熵（KL散度）和它们的平均分布之间的相对熵的平均值。 具体来说，假设有两个概率分布P和Q，它们之间的Jensen-Shannon散度可以用以下公式表示： JS(P||Q) = (KL(P||M) + KL(Q||M))/2 其中，KL(P||Q)表示P相对于Q的相对熵（Kullback-Leibler散度），KL(Q||P)表示Q相对于P的相对熵，M表示P和Q的平均分布，M = (P + Q) / 2。 Jensen-Shannon散度具有一些良好的性质。首先，它是非负的，并且当且仅当P和Q相等时等于零。其次，它满足对称性，即JS(P||Q) = JS(Q||P)。此外，它还满足三角不等式，即对于任意的三个概率分布P、Q和R，JS(P||R) ≤ JS(P||Q) + JS(Q||R)。 Jensen-Shannon散度在信息检索、数据挖掘和模式识别等领域有广泛的应用。它可以用于计算文档之间的相似度，推荐系统中的物品相似度计算，以及聚类算法中的距离度量等。它的应用使得我们能够更准确地描述和比较各种概率分布之间的相似性，从而提高了数据分析和模式识别的效果。

python 漂移指标

在机器学习中，漂移指标（Drift Metrics）用于评估模型在不同时间段或不同数据分布上的性能变化。它可以帮助我们监测模型在生产环境中是否存在数据漂移或模型性能的变化。 在 Python 中，你可以使用一些常见的漂移指标来评估模型的性能变化。下面是一些常用的漂移指标： 1. 准确率（Accuracy）：用于度量模型在新数据上的分类准确性。当数据分布发生漂移时，准确率可能会下降。 2. AUC-ROC：用于度量二分类模型的性能，计算真正例率（True Positive Rate）和假正例率（False Positive Rate）之间的面积。当数据分布发生漂移时，AUC-ROC 值可能会发生变化。 3. F1 Score：综合考虑了模型的精确率和召回率。当数据分布发生漂移时，F1 Score 可能会发生变化。 4. KL 散度（Kullback-Leibler Divergence）：用于衡量两个概率分布之间的差异。当数据分布发生漂移时，KL 散度可能会增加。 5. JS 散度（Jensen-Shannon Divergence）：由 KL 散度改进而来，于衡量两个概率分布之间的差异。当数据分布发生漂移时，JS 散度可能会增加。 这些指标可以通过比较模型在不同时间段或数据分布上的性能来检测漂移。你可以使用 Python 中的机器学习库（如 scikit-learn）来计算这些指标。具体的实现方法会根据你的具体问题和数据而有所不同。 希望这些信息对你有帮助！如果你还有其他问题，请随时提问。

code怎么写distance.jensenshannon

抱歉，作为AI语言模型，我无法提供代码。但是，Jensen-Shannon距离的计算可以通过以下步骤实现： 1. 计算两个概率分布的平均分布，即将两个概率分布相加并除以2。 2. 使用KL散度计算每个分布与平均分布之间的差异。 3. 将KL散度加起来并除以2，得到Jensen-Shannon距离。 以下是使用Python计算Jensen-Shannon距离的示例代码： python import numpy as np from scipy.spatial.distance import jensenshannon # 定义两个概率分布 p = np.array([0.2, 0.3, 0.5]) q = np.array([0.1, 0.4, 0.5]) # 计算Jensen-Shannon距离 js_distance = jensenshannon(p, q) print(js_distance) 输出： 0.05914570096839196

wgan-gp详细介绍

Wasserstein GAN with Gradient Penalty (WGAN-GP) 是一种生成对抗网络 (GAN) 的改进版本，其通过对经典 WGAN 的判别器上的梯度下降操作中添加梯度惩罚项， 进一步增强了 WGAN 生成器和判别器的稳定性和性能，同时消除了原 WGAN 中的训练中的“梯度消失”问题。 WGAN-GP 的一个显著特点是其引入了一种新的距离度量方式，即在判别器的损失函数中，将原有的 JS 散度 (Jensen–Shannon divergence) 转化为 Wasserstein 距离，即将判别器的输出视为输入数据的分布，并计算生成器产生样本和实际样本之间的 Wasserstein 距离。通过使用 Wasserstein 距离作为度量标准，WGAN-GP 提供了更好的训练距离度量和梯度信息。 除了距离度量方式的改变，WGAN-GP 还增加了一个梯度惩罚项，以约束判别器对生成器和真实数据的区分能力。此时，当判别器的输出和真实数据之间的差异大于一个阈值时，网络将产生更大的梯度惩罚，从而将判别器的梯度推向更加平滑的方向，以避免出现较大的梯度噪声。 WGAN-GP 的优点在于其对训练过程进行了改进，避免了经典 GAN 中的一些问题，如模式崩溃和训练不稳定性等，同时减少了训练时间和资源消耗。由于其出色的表现和经济性，WGAN-GP 已被广泛应用于各种计算机视觉任务，如图像生成、图像修复和超分辨率等。

最后的结果全是inf

如果最后的结果全是 inf，那么可能是因为某些IMF函数的直方图和原始数据的直方图之间没有交集，导致在计算KL散度时出现了除以0的情况。这种情况下可以将KL散度的计算方式改为使用Jensen-Shannon散度，它是KL散度的平方根，可以避免除以0的情况。修改后的代码如下： matlab % 假设原始数据为 signal，EMD分解后的IMF函数为 IMFs % 首先计算原始数据的直方图 [N,edges] = histcounts(signal); % edges 为直方图的边界值 bar_centers = (edges(2:end) + edges(1:end-1)) / 2; % 计算每个直方柱的中心位置 P = N / sum(N); % 计算每个数值出现的概率 % 逐个计算每个IMF函数的直方图和JS散度 JSs = zeros(size(IMFs,1),1); for i = 1:size(IMFs,1) [N,edges] = histcounts(IMFs(i,:),edges); Q = N / sum(N); % 使用Jensen-Shannon散度计算两个概率分布之间的距离 M = (P + Q) / 2; JSs(i) = sqrt(0.5 * sum(P .* log(P./M) + Q .* log(Q./M))); end 这里的关键是使用了Jensen-Shannon散度计算两个概率分布之间的距离，而不是KL散度。这样就能避免除以0的情况，从而避免了结果为 inf 的问题。

最后的结果全是NaN

如果最后的结果全是 NaN，那么可能是因为某些IMF函数的直方图和原始数据的直方图之间没有交集，导致在计算KL散度或Jensen-Shannon散度时对数函数的参数出现了0或负数，从而导致了 NaN 的出现。这种情况下可以在计算KL散度或Jensen-Shannon散度时对参数进行一些调整，以避免出现0或负数。以下是一些可能的调整方法： 1. 加上一个很小的正数，例如 eps，避免出现0的情况。 2. 对参数进行平滑，例如使用带宽为h的高斯核对参数进行卷积平滑，避免出现极端值。 3. 将参数限制在一个较小的范围内，例如将参数限制在 [0.01, 0.99] 的范围内，避免出现负数。 具体的实现方法可以根据实际情况进行选择和调整。修改后的代码如下： matlab % 假设原始数据为 signal，EMD分解后的IMF函数为 IMFs % 首先计算原始数据的直方图 [N,edges] = histcounts(signal); % edges 为直方图的边界值 bar_centers = (edges(2:end) + edges(1:end-1)) / 2; % 计算每个直方柱的中心位置 P = N / sum(N); % 计算每个数值出现的概率 % 逐个计算每个IMF函数的直方图和JS散度 JSs = zeros(size(IMFs,1),1); for i = 1:size(IMFs,1) [N,edges] = histcounts(IMFs(i,:),edges); Q = N / sum(N); % 对参数进行平滑 h = 0.1; % 平滑的带宽 P_smooth = smoothdata(P, 'gaussian', h); Q_smooth = smoothdata(Q, 'gaussian', h); % 将参数限制在 [0.01, 0.99] 的范围内 P_smooth(P_smooth < 0.01) = 0.01; P_smooth(P_smooth > 0.99) = 0.99; Q_smooth(Q_smooth < 0.01) = 0.01; Q_smooth(Q_smooth > 0.99) = 0.99; % 使用Jensen-Shannon散度计算两个概率分布之间的距离 M = (P_smooth + Q_smooth) / 2; JSs(i) = sqrt(0.5 * sum(P_smooth .* log(P_smooth./M) + Q_smooth .* log(Q_smooth./M))); end 这里的关键是使用了平滑和参数限制等方法来避免出现0和负数的情况，从而避免了结果为 NaN 的问题。

for (i in seq_len(nrow(spots_true_composition))) { x <- rbind(spots_true_composition[i, ], spots_predicted_composition[i, ]) if (sum(spots_predicted_composition[i, ]) > 0) { jsd_matrix[i, 1] <- suppressMessages(JSD(x = x, unit = "log2", est.prob = "empirical")) } else { jsd_matrix[i, 1] <- 1 } }

这段代码中，首先使用了一个 for 循环，循环的次数为 spots_true_composition 数据框的行数。在每次循环中，使用 rbind 函数将 spots_true_composition 和 spots_predicted_composition 数据框中的第 i 行合并成一个新的数据框 x。然后，通过判断 spots_predicted_composition 第 i 行的元素和是否大于 0，来决定是否计算 JSD 值。如果大于 0，则调用 JSD 函数并将计算结果赋值给 jsd_matrix 的第 i 行第 1 列；否则，将 jsd_matrix 的第 i 行第 1 列赋值为 1。其中，JSD 函数的参数 x 表示两个概率分布之间的距离度量方式为 Jensen-Shannon 距离，unit 参数为 "log2" 表示以对数为单位计算距离，est.prob 参数为 "empirical" 表示使用样本的经验概率估计概率分布。

我需要一段计算js散度的python代码

### 回答1： 我可以为你提供一段代码：import numpy as npdef js_divergence(p, q): m = 0.5 * (p + q) return 0.5 * (entropy(p, m) + entropy(q, m))def entropy(p, q): return np.sum(np.where(p != 0, p * np.log(p / q), 0)) ### 回答2： 计算JS散度(JS Divergence)是指衡量两个概率分布之间的差异程度的指标。下面是一个用Python计算JS散度的简单代码示例： python import numpy as np from scipy.stats import entropy def calculate_js_divergence(p, q): m = 0.5 * (p + q) js_divergence = 0.5 * (entropy(p, m) + entropy(q, m)) return js_divergence # 定义两个概率分布 p = np.array([0.1, 0.2, 0.3, 0.4]) q = np.array([0.3, 0.25, 0.15, 0.3]) # 计算JS散度 js_divergence = calculate_js_divergence(p, q) print("JS散度为:", js_divergence) 在以上代码中，我们首先导入了numpy和scipy.stats模块。numpy用于创建数组，scipy.stats中的entropy函数用于计算香农熵（也称为信息熵）。 然后，我们定义了一个calculate_js_divergence函数，该函数接受两个概率分布p和q作为参数。首先，我们计算两个概率分布的中间分布m，然后使用entropy函数分别计算p和q相对于m的交叉熵，并取平均。最终，返回JS散度的值。 接下来，我们定义了两个概率分布p和q，并调用calculate_js_divergence函数来计算JS散度，并将结果打印出来。 请注意，以上仅为简单示例，实际应用中可能需要根据具体的情况进行调整和改进。 ### 回答3： 下面是一个用Python计算JS散度的简单示例代码： python import numpy as np def jensen_shannon_divergence(p, q): """ 计算JS散度的函数 :param p: 概率分布p，类型为numpy数组 :param q: 概率分布q，类型为numpy数组，需与p具有相同的形状和维度 :return: JS散度值 """ m = (p + q) / 2.0 kl_p = np.sum(p * np.log2(p / m)) kl_q = np.sum(q * np.log2(q / m)) js_divergence = (kl_p + kl_q) / 2.0 return js_divergence # 示例用法 p = np.array([0.1, 0.2, 0.3, 0.4]) q = np.array([0.5, 0.1, 0.2, 0.2]) js_divergence = jensen_shannon_divergence(p, q) print("JS散度为：", js_divergence)

如何用python实现基于概率分布的超声图像与自然图像性质差异分析这一课题，需要分析大量图像以确保结果的真实性，需要对比两种图像的特征必须包括颜色，纹理，形状，差异性分析方法也需要多种，包括完整详细复杂代码

这个问题比较复杂，需要分成多个步骤来实现，主要包括以下几个部分： 1. 数据收集与预处理 2. 特征提取与表示 3. 概率分布建模 4. 差异性分析 下面将逐步介绍每个部分的实现。 ### 1. 数据收集与预处理 首先需要收集大量的超声图像和自然图像数据，并且需要对数据进行预处理。预处理包括图像的缩放、灰度化、归一化等操作。这些操作可以使用Python的OpenCV库来实现。 python import cv2 import numpy as np # 加载图像 img = cv2.imread('image.jpg') # 缩放图像 img = cv2.resize(img, (256, 256)) # 灰度化 gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY) # 归一化 normalized = cv2.normalize(gray, None, 0, 255, cv2.NORM_MINMAX) ### 2. 特征提取与表示 接下来需要从图像中提取特征，并将其表示成向量形式。常见的特征包括颜色直方图、纹理特征、形状特征等。这里以颜色直方图为例。 python import cv2 import numpy as np # 加载图像 img = cv2.imread('image.jpg') # 缩放图像 img = cv2.resize(img, (256, 256)) # 提取颜色直方图特征 hist = cv2.calcHist([img], [0, 1, 2], None, [8, 8, 8], [0, 256, 0, 256, 0, 256]) hist = cv2.normalize(hist, hist).flatten() ### 3. 概率分布建模 在提取完特征后，需要对超声图像和自然图像的特征分布进行建模，以便后续的差异性分析。这里可以使用高斯混合模型（GMM）来对特征分布进行建模。 python import cv2 import numpy as np # 加载图像 img = cv2.imread('image.jpg') # 缩放图像 img = cv2.resize(img, (256, 256)) # 提取颜色直方图特征 hist = cv2.calcHist([img], [0, 1, 2], None, [8, 8, 8], [0, 256, 0, 256, 0, 256]) hist = cv2.normalize(hist, hist).flatten() # 建立GMM模型 from sklearn.mixture import GaussianMixture gmm = GaussianMixture(n_components=2) gmm.fit(hist.reshape(-1, 1)) ### 4. 差异性分析 最后需要对超声图像和自然图像的特征分布进行差异性分析，常见的方法包括Kullback-Leibler散度、Jensen-Shannon散度等。这里以Kullback-Leibler散度为例。 python import cv2 import numpy as np from scipy.stats import entropy # 加载图像 img = cv2.imread('image.jpg') # 缩放图像 img = cv2.resize(img, (256, 256)) # 提取颜色直方图特征 hist = cv2.calcHist([img], [0, 1, 2], None, [8, 8, 8], [0, 256, 0, 256, 0, 256]) hist = cv2.normalize(hist, hist).flatten() # 计算KL散度 kl_divergence = entropy(hist, gmm.means_.T) 以上是实现基于概率分布的超声图像与自然图像性质差异分析的主要步骤和代码，具体实现可能还需要根据具体情况进行一些调整。

请证明$H(\Theta \given \Theta^t)$满足以下性质: \begin{align*} \Theta^t = \operatorname{\arg \max}{\Theta} H(\Theta \given \Theta^t). \end{align*} (提示: 使用Jensen不等式) 其中$H(\Theta \given \Theta^t) = \sum{\bds{Z}} P(\bds{Z} \given \X, \Theta^t) \ln P(\bds{Z} \given \X, \Theta)$, $$Q(\Theta|\Theta^t) = \sum_Z P(Z| \X,\Theta^t)\ln P(\X,Z|\Theta)$$

我们可以使用Jensen不等式来证明这个性质。Jensen不等式指出，对于一个凸函数$f(x)$，有$f(\mathbb{E}[x]) \leq \mathbb{E}[f(x)]$，其中$x$是一个随机变量，$\mathbb{E}[x]$是$x$的期望。这里，我们将$f(x) = \ln{x}$。 首先，我们注意到$log$是一个凸函数。然后我们使用Jensen不等式，得到： $$\ln \sum_{\bds{Z}} P(\bds{Z} \given \X, \Theta) = \ln 1 = 0 \leq \sum_{\bds{Z}} P(\bds{Z} \given \X, \Theta) \ln \frac{P(\bds{Z} \given \X, \Theta)}{\sum_{\bds{Z}} P(\bds{Z} \given \X, \Theta)}$$ 对于任意的$\Theta$都成立，因此： $$\ln \sum_{\bds{Z}} P(\bds{Z} \given \X, \Theta) \leq \sum_{\bds{Z}} P(\bds{Z} \given \X, \Theta) \ln P(\bds{Z} \given \X, \Theta)$$ 接下来，我们将证明，对于给定的$\Theta^t$，$H(\Theta \given \Theta^t)$在$\Theta^t$处取得最大值。我们有： \begin{align*} & H(\Theta^t \given \Theta^t) - H(\Theta \given \Theta^t) \\ &= \sum_{\bds{Z}} P(\bds{Z} \given \X, \Theta^t) \ln P(\bds{Z} \given \X, \Theta^t) - \sum_{\bds{Z}} P(\bds{Z} \given \X, \Theta^t) \ln P(\bds{Z} \given \X, \Theta) \\ &= \sum_{\bds{Z}} P(\bds{Z} \given \X, \Theta^t) \ln \frac{P(\bds{Z} \given \X, \Theta^t)}{P(\bds{Z} \given \X, \Theta)} \end{align*} 因为$H(\Theta^t \given \Theta^t)$是一个常数，所以我们只需要考虑$H(\Theta \given \Theta^t)$的值。为了使$H(\Theta \given \Theta^t)$最大化，我们需要最小化$\sum_{\bds{Z}} P(\bds{Z} \given \X, \Theta) \ln \frac{P(\bds{Z} \given \X, \Theta^t)}{P(\bds{Z} \given \X, \Theta)}$。我们可以看作是最小化KL散度$D_{KL}(P(\bds{Z} \given \X, \Theta^t) || P(\bds{Z} \given \X, \Theta))$。因此，当$\Theta = \Theta^t$时，$H(\Theta \given \Theta^t)$取得最小值。这证明了$H(\Theta \given \Theta^t)$在$\Theta^t$处取得最大值。 因此，我们有： \begin{align*} \Theta^t = \operatorname{\arg \max}{\Theta} H(\Theta \given \Theta^t). \end{align*}

请证明$H(\Theta \given \Theta^t)$满足以下性质: \begin{align*} \Theta^t = \operatorname{\arg \max}_{\Theta} H(\Theta \given \Theta^t). \end{align*} (提示: 使用Jensen不等式) 其中$H(\Theta \given \Theta^t) = \sum_{\bds{Z}} P(\bds{Z} \given \X, \Theta^t) \ln P(\bds{Z} \given \X, \Theta)$, $Q(\Theta \given \Theta^t)$的定义见课本(7.36)式

首先，根据Jensen不等式，对于一个凸函数$f$和一个随机变量$X$，有 $E[f(X)] \ge f(E[X])$。将$f(x) = \ln(x)$，$X$替换为$P(\bds{Z} \given \X, \Theta)$，则有： \begin{align*} H(\Theta \given \Theta^t) &= \sum_{\bds{Z}} P(\bds{Z} \given \X, \Theta^t) \ln P(\bds{Z} \given \X, \Theta) \\ &\ge \ln \left( \sum_{\bds{Z}} P(\bds{Z} \given \X, \Theta^t) P(\bds{Z} \given \X, \Theta) \right) \\ &= \ln Q(\Theta \given \Theta^t) \end{align*} 根据定义，$Q(\Theta \given \Theta^t)$是$H(\Theta \given \Theta^t)$的下界，因为它是对所有分布$P(\bds{Z} \given \X, \Theta)$的期望。所以我们有：$$\ln Q(\Theta \given \Theta^t) \le H(\Theta \given \Theta^t)$$ 因此，通过最大化$H(\Theta \given \Theta^t)$，我们可以获得$Q(\Theta \given \Theta^t)$的最大值。即， \begin{align*} \Theta^t &= \operatorname{\arg \max}_{\Theta} H(\Theta \given \Theta^t) \\ &\Rightarrow Q(\Theta^t \given \Theta^t) \le Q(\Theta \given \Theta^t) \end{align*}

KL散度(相对熵)为什么是非负的?请证明

### 回答1： KL散度（相对熵）是非负的，因为它衡量了两个概率分布之间的差异，而相对熵值永远不会小于0。公式为：KL(P||Q) = ∑P(X)log(P(X)/Q(X))，因此，KL散度是非负的，因为P(X)/Q(X)大于等于1，而log(P(X)/Q(X))永远不会小于0。 ### 回答2： KL散度（Kullback-Leibler divergence），也叫作相对熵（relative entropy），是一种用于衡量两个概率分布之间差异的度量方法。KL散度的非负性可以通过以下证明来说明： 假设我们有两个离散概率分布P和Q，其概率质量函数分别为p(x)和q(x)，其中x表示随机变量的取值。KL散度定义为： KL(P || Q) = Σp(x)log(p(x)/q(x)) 为了证明KL散度的非负性，我们先证明一个引理：当且仅当p(x) = q(x)时，p(x)log(p(x)/q(x)) = 0。 当p(x) = q(x)时，p(x)/q(x) = 1，log(p(x)/q(x)) = 0，所以p(x)log(p(x)/q(x)) = 0。 反之，当p(x) ≠ q(x)时，由于p(x)和q(x)是概率分布，其取值范围在[0,1]之间。根据log函数的性质，log(p(x)/q(x))的取值范围是负无穷到正无穷之间。而p(x)是非零的，所以p(x)log(p(x)/q(x))的值是非零的。 根据上述引理，当p(x) = q(x)时，KL(P || Q) = 0，当p(x) ≠ q(x)时，KL(P || Q) > 0。 对于连续概率分布，KL散度的定义稍有不同，但证明方法是类似的。 综上所述，KL散度（相对熵）是非负的。其非负性保证了KL散度可以用作度量两个概率分布之间的差异。如果KL散度为0，则意味着两个概率分布是相同的；如果KL散度大于0，则表示两个概率分布之间存在差异。 ### 回答3： KL散度（相对熵）是衡量两个概率分布P和Q之间差异的一种度量方式。KL散度定义如下： KL(P || Q) = Σ P(x) log(P(x) / Q(x)) 其中，P(x)和Q(x)分别是概率分布P和Q在取值为x时的概率。 为了证明KL散度是非负的，我们需要利用凸函数性质以及Jensen不等式。 通过观察，我们可以发现当且仅当P(x) = Q(x)时，KL散度为0。这是因为当P(x) = Q(x)时，log(P(x) / Q(x)) = 0，所以KL散度的每一项和为0，整体也为0。 假设我们有两个概率分布P和Q，其中P(x) ≠ Q(x)。我们可以使用Jensen不等式来证明KL散度是非负的。 根据Jensen不等式，对于凸函数f(x)来说，有： f(Σ t_i * x_i) ≤ Σ t_i * f(x_i) 其中，t_i 是非负权重，且Σ t_i = 1。 我们将上式应用于凸函数f(x) = log(x)： log(Σ t_i * x_i) ≤ Σ t_i * log(x_i) 接下来，我们用P(X)作为t_i和Q(X)/P(X)作为x_i，带入上述不等式： log(Σ P(x) * Q(x) / P(x)) ≤ Σ P(x) * log(Q(x) / P(x)) 可以简化为： log(Σ Q(x)) ≤ Σ P(x) * log(Q(x) / P(x)) 这等价于： log(1) ≤ Σ P(x) * log(Q(x) / P(x)) 即： 0 ≤ Σ P(x) * log(Q(x) / P(x)) 由于KL散度是P(x) * log(Q(x) / P(x))的加权和，故KL散度是非负的。即证明了KL散度的非负性。 综上所述，KL散度是非负的。

vue图片懒加载 最优

Vue图片懒加载是一种优化技术，它可以延迟图片的加载，只有当图片进入可见区域时才加载，从而提高页面加载速度和用户体验。实现图片懒加载最常见的方法是使用Vue插件vue-lazyload。 该插件的使用方法如下： 1. 首先，安装vue-lazyload插件。在项目中运行以下命令： npm install vue-lazyload --save 2. 在项目的入口文件中（如main.js），导入vue-lazyload模块并使用Vue.use()方法注册插件： javascript import Vue from 'vue' import VueLazyload from 'vue-lazyload' Vue.use(VueLazyload) 3. 在需要懒加载的图片标签中，将src属性替换为v-lazy指令，并设置默认的占位图片： html 4. 在Vue组件中，设置imageSrc为需要懒加载的图片的真实地址： javascript export default { data() { return { imageSrc: 'realImage.jpg' } } } 通过使用vue-lazyload插件，可以实现图片懒加载，提升页面加载速度，并且只在图片进入可见区域时才加载真实图片，从而节省带宽和提高用户体验。123 #### 引用[.reference_title] - *1* *2* *3* [Vue打包优化之路由懒加载](https://blog.csdn.net/Jensen_Yao/article/details/106125887)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v93^chatsearchT3_2"}}] [.reference_item style="max-width: 100%"] [ .reference_list ]

利用定义证明交叉熵函数是凸函数

首先，我们来定义交叉熵函数。设$p$和$q$是定义在相同的离散或连续随机变量上的两个概率分布，则$p$和$q$的交叉熵函数为： $$H(p,q)=-\sum_{x}p(x)\log q(x)$$ 或者 $$H(p,q)=-\int_{-\infty}^{\infty}p(x)\log q(x)dx$$ 现在我们证明交叉熵函数是凸函数。为了证明交叉熵函数是凸函数，我们需要证明对于所有的$p$和$q$，以及$0\leq\lambda\leq1$，都有： $$H(p,\lambda q+(1-\lambda)r)\leq\lambda H(p,q)+(1-\lambda)H(p,r)$$ 其中，$r$是另一个概率分布。 我们从定义出发，对$\lambda$进行展开： $$\begin{aligned} H(p,\lambda q+(1-\lambda)r) &= -\sum_{x}p(x)\log [\lambda q(x)+(1-\lambda)r(x)] \\ &\leq -\sum_{x}p(x)[\lambda\log q(x)+(1-\lambda)\log r(x)] \\ &= \lambda H(p,q)+(1-\lambda)H(p,r) \end{aligned}$$ 这里，我们使用了Jensen不等式，它告诉我们，对于凸函数$f$，有： $$f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)$$ 因为负对数是凸函数，所以$-\log$也是凸函数。因此，交叉熵函数是凸函数。

对任意x属于R，求证：P（max|Sk>|3x）<3max P(|Sk|>x)

我们考虑将右侧的最大值拆分成多个事件的概率之和，即： P(|S1|>x ∪ |S2|>x ∪ ... ∪ |Sn|>x) 由于每个|Si|都是独立同分布的，所以可以利用Boole不等式得到： P(|S1|>x ∪ |S2|>x ∪ ... ∪ |Sn|>x) ≤ ∑i=1^n P(|Si|>x) 接下来，我们考虑左侧的事件P(max|Sk|>3x)。由于每个Sk都是独立同分布的，因此可以利用公式P(max|Sk|>3x) = 1 - P(|Sk|≤3x)^n，于是我们有： P(max|Sk|>3x) = 1 - P(|Sk|≤3x)^n 由于|Sk|≤3x等价于|Sk|/x≤3，因此可以利用Markov不等式得到： P(|Sk|≤3x) ≥ P(|Sk|/x ≤ 3) ≤ E(|Sk|/x) / 3 因此，我们有： P(max|Sk|>3x) ≤ 1 - (E(|Sk|/x) / 3)^n 接下来，我们需要比较左右两侧的大小关系，即证明： 1 - (E(|Sk|/x) / 3)^n < 3∑i=1^n P(|Si|>x) 这里我们需要利用Jensen不等式，即对于凸函数f(x)，有f(E(X)) ≤ E(f(X))。取f(x) = (x/3)^n，对左侧应用Jensen不等式得到： 1 - (E(|Sk|/x) / 3)^n ≤ 1 - E(|Sk|/3x)^n 对右侧的每一项P(|Si|>x)，我们有： P(|Si|>x) = E(I(|Si|>x)) ≤ E((|Si|/x)^n) 因此，我们有： ∑i=1^n P(|Si|>x) ≤ ∑i=1^n E((|Si|/x)^n) = E(∑i=1^n (|Si|/x)^n) 接下来，我们需要证明： 1 - E(|Sk|/3x)^n < 3E(∑i=1^n (|Si|/x)^n) 由于|Si|都是独立同分布的，因此可以利用MGF（Moment Generating Function）来计算E((|Si|/x)^n)，即： M(t) = E(exp(t|S|/x)) 然后，我们可以用Jensen不等式得到： M(t)^n ≤ E(exp(nt|S|/x)) = M(nt) 因此，我们有： E((|Si|/x)^n) = M(n)^n ≤ M(n) = E(exp(n|S|/x)) 因此，我们有： 3E(∑i=1^n (|Si|/x)^n) ≥ 3E(exp(n∑i=1^n |Si|/x)) = E(exp(n|Sk|/x)^n) 于是，我们需要证明： 1 - E(|Sk|/3x)^n < E(exp(n|Sk|/x)^n) 这个可以利用Chernoff bound得到，即： P(|Sk| > t) ≤ 2exp(-t^2 / (2nσ^2)) 其中，σ^2是每个Si的方差，t = nx，于是我们有： E(exp(n|Sk|/x)^n) ≥ exp(n^2x^2 / (2nσ^2)) = exp(nxd^2 / 2) 其中，d是每个Si的标准差，由于|Si|≤|S|，因此d ≤ σ√n，于是我们有： E(exp(n|Sk|/x)^n) ≥ exp(nxd^2 / 2) ≥ exp(nxσ^2 / 2) 于是，我们有： 1 - E(|Sk|/3x)^n < exp(nxσ^2 / 2) 因此，我们需要证明： exp(nxσ^2 / 2) < 3exp(nxσ^2 / 2)∑i=1^n E((|Si|/x)^n) 即： 1 < 3∑i=1^n E((|Si|/x)^n) 这个结论是显然成立的，因为∑i=1^n E((|Si|/x)^n) ≥ E((∑i=1^n |Si|/x)^n) = 1。 因此，我们证明了： P(max|Sk|>3x) < 3max P(|Sk|>x)

最新推荐

Jensen不等式及其证明

本文应用数学归纳法证明了Jensen(琴生)不等式，琴生不等式是凸函数的很重要的性质，而凸函数在机器学习中又很重要

期望最大化算法整理（EM）

文章的目录 一、最大期望算法简介 二、相关知识 2.1贝叶斯 2.2最大似然估计 2.3Jensen不等式 2.4高斯分布 三、EM算法 3.1实例理解 3.2EM算法求解步骤 3.3EM算法推导 3.4EM算法_python

数字化实验优缺点.pdf

数字化实验优缺点.pdf

代码随想录最新第三版-最强八股文

这份PDF就是最强⼋股⽂！ 1. C++ C++基础、C++ STL、C++泛型编程、C++11新特性、《Effective STL》 2. Java Java基础、Java内存模型、Java面向对象、Java集合体系、接口、Lambda表达式、类加载机制、内部类、代理类、Java并发、JVM、Java后端编译、Spring 3. Go defer底层原理、goroutine、select实现机制 4. 算法学习 数组、链表、回溯算法、贪心算法、动态规划、二叉树、排序算法、数据结构 5. 计算机基础 操作系统、数据库、计算机网络、设计模式、Linux、计算机系统 6. 前端学习 浏览器、JavaScript、CSS、HTML、React、VUE 7. 面经分享 字节、美团Java面、百度、京东、暑期实习...... 8. 编程常识 9. 问答精华 10.总结与经验分享 ......

事件摄像机的异步事件处理方法及快速目标识别

934}{基于图的异步事件处理的快速目标识别Yijin Li，Han Zhou，Bangbang Yang，Ye Zhang，Zhaopeng Cui，Hujun Bao，GuofengZhang*浙江大学CAD CG国家重点实验室†摘要与传统摄像机不同，事件摄像机捕获异步事件流，其中每个事件编码像素位置、触发时间和亮度变化的极性。在本文中，我们介绍了一种新的基于图的框架事件摄像机，即SlideGCN。与最近一些使用事件组作为输入的基于图的方法不同，我们的方法可以有效地逐个事件处理数据，解锁事件数据的低延迟特性，同时仍然在内部保持图的结构。为了快速构建图，我们开发了一个半径搜索算法，该算法更好地利用了事件云的部分正则结构，而不是基于k-d树的通用方法。实验表明，我们的方法降低了计算复杂度高达100倍，相对于当前的基于图的方法，同时保持最先进的性能上的对象识别。此外，我们验证了我们的方�

下半年软件开发工作计划应该分哪几个模块

通常来说，软件开发工作可以分为以下几个模块： 1. 需求分析：确定软件的功能、特性和用户需求，以及开发的目标和约束条件。 2. 设计阶段：根据需求分析的结果，制定软件的架构、模块和接口设计，确定开发所需的技术和工具。 3. 编码实现：根据设计文档和开发计划，实现软件的各项功能和模块，编写测试用例和文档。 4. 测试阶段：对软件进行各种测试，包括单元测试、集成测试、功能测试、性能测试、安全测试等，确保软件的质量和稳定性。 5. 发布和部署：将软件打包发布，并进行部署和安装，确保用户可以方便地使用软件。 6. 维护和更新：对软件进行维护和更新，修复漏洞和Bug，添加新的特性和功能，保证

数据结构1800试题.pdf

你还在苦苦寻找数据结构的题目吗？这里刚刚上传了一份数据结构共1800道试题，轻松解决期末挂科的难题。不信？你下载看看，这里是纯题目，你下载了再来私信我答案。按数据结构教材分章节，每一章节都有选择题、或有判断题、填空题、算法设计题及应用题，题型丰富多样，共五种类型题目。本学期已过去一半，相信你数据结构叶已经学得差不多了，是时候拿题来练练手了，如果你考研，更需要这份1800道题来巩固自己的基础及攻克重点难点。现在下载，不早不晚，越往后拖，越到后面，你身边的人就越卷，甚至卷得达到你无法想象的程度。我也是曾经遇到过这样的人，学习，练题，就要趁现在，不然到时你都不知道要刷数据结构题好还是高数、工数、大英，或是算法题？学完理论要及时巩固知识内容才是王道！记住！！！下载了来要答案（v:zywcv1220）。

开集域自适应方法及其在靶点发现中的应用

9322基于开集域自适应的新靶点发现Taotao Jing< $，Hongfu LiuXiang，and Zhengming Ding<$†美国杜兰大学计算机科学系‡美国布兰代斯大学Michtom计算机科学学院网址：tjing@tulane.edu，hongfuliu@brandeis.edu，网址：www.example.com，zding1@tulane.edu摘要开集域自适应算法（OSDA）认为目标域包含了在外部源域中未观察到的新类别的样本不幸的是，现有的OSDA方法总是忽略了看不见的类别的信息的需求，并简单地将它们识别为“未知”集合而没有进一步的这促使我们通过探索底层结构和恢复其不可解释的语义属性来更具体地理解未知类别。在本文中，我们提出了一种新的框架，以准确地识别目标领域中的可见类别，并有效地恢复未见过的类别的语义属性具体而言，结构保持部分对齐开发，通过域不变的特征学习识别看到的基于视觉图的属性传播是为了通过视觉语义映射将可见属�

yolov8部署mac

很抱歉，YoloV8并不支持在macOS上进行部署。YoloV8是基于深度学习框架Darknet开发的，Darknet支持Linux和Windows操作系统。如果你想在macOS上运行YoloV8，可以考虑使用虚拟机或容器技术，在虚拟机或容器中运行Linux系统，然后在Linux系统上进行YoloV8的部署。

TFT屏幕-ILI9486数据手册带命令标签版.pdf

ILI9486手册 官方手册 ILI9486 is a 262,144-color single-chip SoC driver for a-Si TFT liquid crystal display with resolution of 320RGBx480 dots, comprising a 960-channel source driver, a 480-channel gate driver, 345,600bytes GRAM for graphic data of 320RGBx480 dots, and power supply circuit. The ILI9486 supports parallel CPU 8-/9-/16-/18-bit data bus interface and 3-/4-line serial peripheral interfaces (SPI). The ILI9486 is also compliant with RGB (16-/18-bit) data bus for video image display. For high speed serial interface, the ILI9486 also provides one data and clock lane and supports up to 500Mbps on MIPI DSI link. And also support MDDI interface.