遗传算法求解非线性优化问题

### 使用遗传算法解决非线性优化问题的方法

#### 定义目标函数
在处理非线性优化问题时，定义合适的目标函数至关重要。对于给定的非线性约束条件下的最小化或最大化问题，可以构建相应的数学模型来表示待求解的问题[^1]。

例如，在寻找某个复杂系统的最优参数配置过程中，假设存在如下形式的目标函数：

\[ f(x_1, x_2,...,x_n)=\sum_{i=1}^{n}(a_i*x_i^b+c_i)\]

其中 \( a_i \),\( b \), 和 \( c_i \) 是已知系数；而 \( x_i \) 则代表决策变量向量中的各个分量。

function y = objectiveFunction(x)
    % Define coefficients here as needed.
    a = [/* coefficient values */];
    b = /* exponent value */;
    c = [/* constant terms */];

    n = length(a);
    
    sumValue = 0;
    for i = 1:n
        sumValue = sumValue + (a(i)*power(x(i),b)+c(i));
    end
    
    y = sumValue; % Objective function output to be minimized/maximized
end

#### 初始化种群
创建初始随机分布的个体集合作为进化起点，这些个体由一组编码后的染色体组成，每条染色体对应着一个问题空间内的潜在解决方案。通常情况下会采用二进制串或其他适合特定应用领域的方式来进行编码操作。

populationSize = 50; % Number of individuals in the population
chromosomeLength = size(variableBounds, 1); % Length based on number of variables
initialPopulation = rand(populationSize, chromosomeLength);

% Convert continuous variable bounds into binary representation if necessary...
for individualIndex = 1:populationSize
    initialPopulation(individualIndex,:) = ...
        convertToBinary(initialPopulation(individualIndex,:), variableBounds);
end

#### 实施选择机制
通过评估每个候选方案适应度得分并据此挑选出表现较好的部分成员参与后续繁殖过程。常见的做法是从当前群体中按比例抽取若干优秀样本构成父代池子用于交叉变异运算。

fitnessScores = zeros(size(initialPopulation, 1), 1);
for idx = 1:size(fitnessScores, 1)
    fitnessScores(idx) = evaluateFitness(objectiveFunction,...
                                         decodeChromosome(initialPopulation(idx,:)));
end

selectedIndices = rwsSelection(fitnessScores, matingPoolSize); % RWS stands for Roulette Wheel Selection
matingPool = initialPopulation(selectedIndices,:);

#### 执行交叉与变异操作
为了探索更广泛的可能性区域以及维持多样性水平，需定期引入新的基因组合方式—即所谓的“交配”。与此同时，适当程度上的突变有助于防止过早收敛现象的发生，从而提高全局搜索能力。

offspringGeneration = [];
while length(offspringGeneration)<desiredOffspringCount do
    parentPairIndexes = selectParents(matingPool);
    childOneGenes = crossover(parents{parentPairIndexes(1)}, parents{parentPairIndexes(2)});
    mutate(childOneGenes);
    offspringGeneration(end+1) = encodeChromosome(childOneGenes);
end

#### 更新迭代直至满足终止准则
随着世代交替不断重复上述流程直到达到预设的最大循环次数或者当连续多轮内最佳适应值变化幅度低于指定阈值为止。最终输出所找到的最佳解及其对应的性能指标评价结果。

bestSolutionFoundSoFar = [];
bestObjectiveScoreEverRecorded = Inf;

generationCounter = 0;
while generationCounter<maxGenerations && abs(bestImprovementSinceLastCheck)>toleranceThreshold
    newGenerationMembers = produceNewGeneration(currentPopulation);
    updateBestKnownResults(newGenerationMembers);
    currentPopulation = replaceWeakestWithStrongest(newGenerationMembers,currentPopulation);
    recordProgress(generationCounter,bestObjectiveScoreEverRecorded);
    checkForEarlyStoppingCriteria();
    incrementGenerationCounter();
end
disp(['Final best solution:', num2str(decodeChromosome(bestSolutionFoundSoFar))]);
disp(['Achieved minimum/maximum score:',num2str(bestObjectiveScoreEverRecorded)]);