已知$A$ 是$n$阶正规矩阵，并且$A$有$n$个互异的特征值.如果矩阵$B$ 与$A$可交换，即 $AB=BA$,证明：$B$也是正规矩阵，

当矩阵$A$是一个$n$阶正规矩阵，并且它有$n$个互异的特征值，这意味着$A$的特征值都是实数，且对应于每个特征值的特征向量是线性无关的。正规矩阵的定义是其转置等于其逆，即$A^TA = AA^T = I$，其中$I$是单位矩阵。

如果矩阵$B$与$A$可交换，即它们满足$AB = BA$，我们可以利用这个性质来证明$B$也是正规的。首先，考虑$B$和$A$的乘积：

$$ AB = BA $$

取转置得到：

$$ (AB)^T = (BA)^T $$

即：

$$ B^TA^T = A^TB^T $$

由于$A$是正规矩阵，$A^T = A^{-1}$，所以：

$$ B^TA = A^{-1})^{-1}B $$

简化后得到：

$$ A^2B = B $$

同样地，取$A$的逆（因为$A$是正规矩阵，其逆存在）：

$$ (A^2)^{-1}B = B $$

即：

$$ B = A^{-2}B $$

所以$B$乘以$A^{-2}$等于$B$本身，这意味着$A^{-2}$也是$B$的左逆。现在，为了证明$B$是正规矩阵，我们需要证明$B$的右逆也等于$A^{-2}$。

考虑$B$乘以$A$的逆两次：

$$ BA^{-2} = A^{-1}BA^{-1} $$

由于$AB=BA$，再次应用$A^{-1}$得到：

$$ B = A^{-1}B $$

所以$BA^{-2} = B$，这意味着$A^{-2}$也是$B$的右逆。既然$B$的左逆和右逆都相等，我们可以得出$B$是正规矩阵，因为正规矩阵的定义是同时具有左逆和右逆，且两者相等。