已知$A$ 是$n$阶正规矩阵,并且$A$有$n$个互异的特征值.如果矩阵$B$ 与$A$可交换,即 $AB=BA$,证明:$B$也是正规矩阵,
时间: 2024-06-22 07:04:20 浏览: 8
当矩阵$A$是一个$n$阶正规矩阵,并且它有$n$个互异的特征值,这意味着$A$的特征值都是实数,且对应于每个特征值的特征向量是线性无关的。正规矩阵的定义是其转置等于其逆,即$A^TA = AA^T = I$,其中$I$是单位矩阵。
如果矩阵$B$与$A$可交换,即它们满足$AB = BA$,我们可以利用这个性质来证明$B$也是正规的。首先,考虑$B$和$A$的乘积:
$$ AB = BA $$
取转置得到:
$$ (AB)^T = (BA)^T $$
即:
$$ B^TA^T = A^TB^T $$
由于$A$是正规矩阵,$A^T = A^{-1}$,所以:
$$ B^TA = A^{-1})^{-1}B $$
简化后得到:
$$ A^2B = B $$
同样地,取$A$的逆(因为$A$是正规矩阵,其逆存在):
$$ (A^2)^{-1}B = B $$
即:
$$ B = A^{-2}B $$
所以$B$乘以$A^{-2}$等于$B$本身,这意味着$A^{-2}$也是$B$的左逆。现在,为了证明$B$是正规矩阵,我们需要证明$B$的右逆也等于$A^{-2}$。
考虑$B$乘以$A$的逆两次:
$$ BA^{-2} = A^{-1}BA^{-1} $$
由于$AB=BA$,再次应用$A^{-1}$得到:
$$ B = A^{-1}B $$
所以$BA^{-2} = B$,这意味着$A^{-2}$也是$B$的右逆。既然$B$的左逆和右逆都相等,我们可以得出$B$是正规矩阵,因为正规矩阵的定义是同时具有左逆和右逆,且两者相等。
相关问题
设5阶实对称方阵A有3个互异特征值,且0是其特征多项式的3重根,则下面说法正确的是
根据代数学基本定理,$A$的特征多项式可以表示为$p(\lambda)=(\lambda-0)^3(\lambda-\alpha)(\lambda-\beta)$,其中$\alpha$和$\beta$是$A$的两个互异特征值。
由于$A$是实对称矩阵,因此它的特征值都是实数,所以$\alpha$和$\beta$必须是实数。
因为$p(\lambda)$的次数为5,所以$\alpha$和$\beta$必须是共轭复数对。
因此,下面的说法正确:
$\alpha$和$\beta$是共轭复数对。
给定元素值互异的数组 A[1…n],尝试在 O(n) 时间内找到最小的 k 个数,算法设计C++代码
可以使用快速选择算法来解决这个问题,其时间复杂度为 O(n)。
具体步骤如下:
1. 选取数组 A 中的一个随机元素 x,把数组 A 分为两个部分:小于 x 的元素放在左边,大于等于 x 的元素放在右边。
2. 如果左半部分的元素个数小于 k,则在右半部分递归寻找最小的 k - 左半部分元素个数 个元素。
3. 如果左半部分的元素个数大于等于 k,则在左半部分递归寻找最小的 k 个元素。
4. 如果左半部分的元素个数恰好等于 k,则左半部分的所有元素都是最小的 k 个元素。
C++代码实现如下:
```c++
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
int quickSelect(vector<int>& nums, int k, int left, int right) {
int pivot = nums[left];
int i = left, j = right;
while (i < j) {
while (i < j && nums[j] >= pivot) j--;
nums[i] = nums[j];
while (i < j && nums[i] < pivot) i++;
nums[j] = nums[i];
}
nums[i] = pivot;
if (i - left == k - 1) return i;
else if (i - left > k - 1) return quickSelect(nums, k, left, i - 1);
else return quickSelect(nums, k - i + left - 1, i + 1, right);
}
vector<int> findKSmallest(vector<int>& nums, int k) {
int index = quickSelect(nums, k, 0, nums.size() - 1);
vector<int> res;
for (int i = 0; i <= index; i++) {
res.push_back(nums[i]);
}
return res;
}
int main() {
vector<int> nums = {3, 2, 1, 5, 6, 4};
int k = 2;
vector<int> res = findKSmallest(nums, k);
for (int i = 0; i < res.size(); i++) {
cout << res[i] << " ";
}
return 0;
}
```
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