正则化参数
正则化参数在机器学习和数值分析中扮演着至关重要的角色,它用于平衡模型的复杂性和过拟合的风险。在正则化过程中,通常有两个常用的参数,λ 和 α,它们的作用相似,都是用来控制正则化的程度。这篇文档将探讨如何选择合适的正则化参数,主要集中在Tikhonov(吉洪诺夫)正则化方法。 Tikhonov正则化是一种解决病态线性问题的方法,它通过添加一个正则项来稳定解,从而减少噪声的影响。给定线性方程组Ax=b,Tikhonov正则化的目标是最小化如下泛函: (2) 式中,||x||²表示x的2范数平方,λ是正则化参数,L通常是A的共轭转置(也称为伪逆)。λ的选择直接影响到求得解的性质,过大会使解过于简单,倾向于欠拟合;过小则可能导致过拟合,模型过于复杂。 选择正则化参数的方法主要有两种,分别是广义交叉验证法(GCV)和L-曲线法。 1. 广义交叉验证法(GCV): GCV是由Golub等人提出的,其核心思想是通过移除数据的一个部分来检验模型的预测能力。具体来说,GCV寻找那个λ使得下面的GCV函数达到最小: (3) 式中,A'表示A的转置,trace(·)表示矩阵的迹,即所有对角元素之和。GCV方法通过最小化这个函数来选择正则化参数,确保模型对缺失数据的预测性能最佳。 2. L-曲线法: L-曲线法是一种直观的图形方法,它将不同λ对应的解的范数与残差范数在对数坐标下绘制成图。理想情况下,L曲线的拐点标志着残差和解的范数之间的最优平衡,因此拐点对应的λ即为最优正则化参数。 除了这两种方法,还有其他策略,如Morozov相容性原理。这种方法基于确保正则化解满足原始观测数据的误差范围。在有误差观测数据y的情况下,Tikhonov正则化通过极小化Tikhonov泛函来找到解: 其中,K是观测算子,x是未知解,y是观测数据,R(x)是数据误差的度量,通常与观测噪声相关。当λ选择得当,正则化解将满足观测数据的误差范围。 正则化参数的选择是一个折衷的过程,需要平衡模型的复杂性、拟合数据的能力以及防止过拟合。通过GCV、L-曲线法和Morozov相容性原理等方法,我们可以找到一个合适的λ,使得模型在训练集和测试集上的表现都能达到理想状态。在实际应用中,通常会结合这些方法,通过实验比较来确定最佳的正则化参数。