请解释信道编码理论中的香农定理及其在现代通信系统中的应用，并提供相关的数学公式和例子。

香农定理是信道编码理论的核心，由克劳德·香农于1948年提出。定理定义了信道的最大信息传输速率，即信道容量，该值受信噪比和带宽的限制。具体来说，香农定理表明，在给定的噪声水平下，存在一个信道容量C，它给出了信道可以无误差传输信息的最大速率，计算公式为C = B * log2(1 + S/N)，其中B是信道带宽，S是信号功率，N是噪声功率。这一理论为数字通信提供了理论基础，并指导了实际通信系统的设计。

参考资源链接：[Modern coding theory（Tom Richardson）习题答案](https://wenku.csdn.net/doc/6412b5fdbe7fbd1778d451c3?spm=1055.2569.3001.10343)

在现代通信系统中，香农定理指导了编码和调制方案的选择，比如在无线通信中广泛使用的正交频分复用（OFDM）技术就是为了接近信道容量而设计的。此外，香农定理也推动了纠错编码技术的发展，如卷积编码、涡轮码和低密度奇偶校验码（LDPC）等，这些编码技术能够接近香农极限，提高通信系统的可靠性。
为了更深入理解香农定理及其在通信系统中的应用，建议参考《Modern coding theory（Tom Richardson）习题答案》这本书。该书提供了信道编码和解码的详细解释，并通过习题答案形式强化了理论知识的应用能力，非常适合对编码理论有深入研究需求的学生和研究人员。

参考资源链接：[Modern coding theory（Tom Richardson）习题答案](https://wenku.csdn.net/doc/6412b5fdbe7fbd1778d451c3?spm=1055.2569.3001.10343)