给定矩阵的尺寸数组b，使用动态规划算法计算它们的最少数乘次数。 输入: 尺寸数组b 输出:最优值表m，完整路径表s及最少数乘次数 使用Java实现。

在Java中，我们可以使用动态规划来解决给定矩阵的最小乘次数问题。这个经典的二维动态规划问题通常称为“最小覆盖”或“最少操作数”。假设矩阵是一个由整数组成的二维数组，我们需要找到一个最小的操作序列，使得每个元素至少被乘一次。

以下是使用动态规划求解这个问题的一个基本步骤：

1. 初始化：创建两个同样大小的二维数组m和s，其中m[i][j]表示将从左上角到(i, j)位置的子矩阵通过最小操作数乘法得到所需的最小次数，初始所有元素设为i * j，因为每一个元素至少需要乘一次。

2. 动态规划状态转移方程：
- 如果a[i][j] >= a[i-1][j] && a[i][j] >= a[i][j-1][j], m[i][j-1])。
- 否则，选择一个较小的操作数（a[i-1][j] 或 a[i][j-1]），并加上1，更新结果：m[i][j] = 1 + min(m[i-1][j], m[i][j-1])。

3. 跟踪路径：同时记录每次更新操作数的时候，是从哪一侧复制的值，用于构建完整的路径。

4. 最终结果：m[n][n]就是最终的最小乘次数，其中n是矩阵的长度。s数组可以用于重建路径。

public class MinMultiplication {
    public int minOperations(int[][] b) {
        int n = b.length;
        int[][] m = new int[n][n];
        int[][] s = new int[n][n];

        // 初始化
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            m[i][i] = b[i][i];
            s[i][i] = 'D'; // D代表当前元素
        }

        // 动态规划
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = i; j < n; j++) {
                if (b[i][j] >= b[i - 1][j];
                    s[i][j] = 'U';
                } else if (b[i][j] >= b[i][j - 1]) {
                    m[i][j] = m[i][j - 1];
                    s[i][j] = 'L';
                } else {
                    m[i][j] = 1 + Math.min(m[i - 1][j], m[i][j - 1]);
                    if (b[i - 1][j] <= b[i][j - 1]) {
                        s[i][j] = 'U';
                    } else {
                        s[i][j] = 'L';
                    }
                }
            }
        }

        return m[n - 1][n - 1];
    }

    // 返回完整路径
    public String[] getRoute(int[][] s) {
        // 构建路径
        StringBuilder path = new StringBuilder();
        int i = n - 1, j = n - 1;
        while (i > 0 || j > 0) {
            char direction = s[i][j];
            switch (direction) {
                case 'U':
                    i--;
                    break;
                case 'L':
                    j--;
                    break;
                default:
                    path.append(direction);
                    i--;
                    j--;
                    break;
            }
        }
        return path.toString().split("");
    }
}