7-35 公路村村通解析

7-35 公路村村通是一种常见的问题，意思是将一个区域内的所有村庄用公路连接起来，使得每个村庄都能够通过公路到达其他所有村庄，且要求公路的总长度最小。

解决这个问题可以采用图论中的最小生成树算法，常用的算法有Prim算法和Kruskal算法。

Prim算法：
1. 任选一个村庄作为起点，将其加入最小生成树中。
2. 在当前最小生成树的基础上，选择与最小生成树连接的权值最小的边，并将其连接的村庄加入最小生成树中。
3. 重复步骤2，直到所有的村庄都被连接到最小生成树中。

Kruskal算法：
1. 将所有边按权值从小到大进行排序。
2. 依次选择权值最小的边，如果该边连接的两个村庄不在同一个连通分量中，则将该边加入最小生成树中，并将两个村庄合并为一个连通分量。
3. 重复步骤2，直到所有的村庄都被连接到最小生成树中。

以上两种算法都能够得到村村通的最小总长度。选择使用哪种算法取决于具体的情况和需求。

相关问题

pat7-107-10 公路村村通

这道题是一道最小生成树的经典问题。题目描述为：有n个村庄需要修路相连，给出每个村庄之间修路的代价，求使得所有村庄都联通的最小代价。

解决这个问题的算法有很多，其中一个经典的算法是Kruskal算法。这个算法的基本思想是先将所有的边按照代价从小到大排序，然后依次加入到最小生成树的集合中，如果加入这条边不会形成环路，就将这条边加入最小生成树集合中。

具体实现时，可以使用并查集来检查是否形成环路。

代码实现可以参考下面这段Python代码：

class UnionFind:
    def __init__(self, n):
        self.parent = list(range(n))

    def find(self, i):
        if self.parent[i] != i:
            self.parent[i] = self.find(self.parent[i])
        return self.parent[i]

    def union(self, i, j):
        self.parent[self.find(i)] = self.find(j)

def kruskal(n, edges):
    uf = UnionFind(n)
    edges.sort(key=lambda x: x[2])
    res = 0
    for i, j, w in edges:
        if uf.find(i) == uf.find(j):
            continue
        uf.union(i, j)
        res += w
    return res

其中n表示村庄的数量，edges表示每个村庄之间修路的代价，是一个三元组(i,j,w)，表示村庄i和村庄j之间修路的代价为w。

使用这个算法可以解决这道题目，时间复杂度为O(mlogm)，其中m表示边的数量。

公路村村通python

公路村村通问题是一道经典的最小生成树问题，可以使用Kruskal算法或Prim算法来解决。是Kruskal算法的Python实现示例：

class UnionFind:
    def __init__(self, n):
        self.parent = list(range(n))
        self.rank = [0] * n
        
    def find(self, x):
        if self.parent[x] != x:
            self.parent[x] = self.find(self.parent[x])
        return self.parent[x]
    
    def union(self, x, y):
        px, py = self.find(x), self.find(y)
        if px == py:
            return False
        if self.rank[px] < self.rank[py]:
            self.parent[px] = py
        elif self.rank[px] > self.rank[py]:
            self.parent[py] = px
        else:
            self.parent[py] = px
            self.rank[px] += 1
        return True

def kruskal(n, edges):
    uf = UnionFind(n)
    edges.sort(key=lambda x: x[2])
    res = 0
    for u, v, w in edges:
        if uf.union(u, v):
            res += w
    return res

其中，UnionFind类定义了并查集数据结构，用于判断两个节点是否在同一连通块中；kruskal函数实现了Kruskal算法，用于求解最小生成树的权值和。输入参数n表示图中节点的数量，edges是一个列表，每个元素表示一条边，包括起点、终点和权值。输出结果为最小生成树的权值和。

具体使用时，可以按照题目要求先读入数据，然后调用kruskal函数求解最小生成树的权值和。