Keller+Miksis方程推导

Keller+Miksis方程是用于描述气泡在液体中的振荡行为的方程。它是由Keller和Miksis在1980年提出的，通过对气泡的运动进行建模得到。

首先，我们假设气泡是一个半径为R(t)的球形，并且在液体中以速度U(t)振荡。根据流体力学的基本原理，可以得到以下方程：

1. 质量守恒方程：
ρ_l * (4/3) * π * R^3 * dU/dt = ρ_g * (4/3) * π * R^3 * dU/dt + (4/3) * π * R^2 * dP/dt

其中，ρ_l是液体的密度，ρ_g是气体的密度，dU/dt是气泡速度的变化率，dP/dt是液体压力的变化率。

2. 动量守恒方程：
ρ_l * (4/3) * π * R^3 * dU/dt = -3 * μ_l * (4/3) * π * R^2 * U - 3 * μ_g * (4/3) * π * R^2 * U + (4/3) * π * R^2 * dP/dt

其中，μ_l是液体的动力粘度，μ_g是气体的动力粘度。

通过对上述两个方程进行整理和简化，可以得到Keller+Miksis方程的最终形式：

R * d^2R/dt^2 + (3/2) * (dR/dt)^2 = (P_v - P_inf) - (2σ/R) - (4η/R) * dR/dt

其中，P_v是气泡内部的压力，P_inf是液体的静态压力，σ是液体和气体之间的表面张力系数，η是液体的粘度。

这个方程描述了气泡在液体中的振荡行为，其中包含了气泡半径、速度、压力等因素的变化。通过求解这个方程，可以得到气泡在不同条件下的振荡特性。