用最速下降法解香蕉函数，用matlab实现，详细一点

用最速下降法（Gradient Descent，也称为梯度下降法）求解非线性优化问题，如香蕉函数，是一种迭代优化方法。香蕉函数因其形状像香蕉而得名，它通常用于演示局部最小值和鞍点的概念。这个函数的一般形式可能为：

\[ f(x_1, x_2) = (x_2 - \sin(x_1))^2 + (x_1 - 1)^2 \]

以下是使用MATLAB实现最速下降法求解香蕉函数的步骤：

1. 定义目标函数：首先创建一个函数文件，输入两个变量`x`和`y`，计算香蕉函数的值。

function [fval] = banana_function(x)
    fval = (x(2) - sin(x(1)))^2 + (x(1) - 1)^2;
end

2. 初始化：选择一个初始点 `(x0_1, x0_2)`，例如`(1.5, 0)`，并设置学习率 `alpha` 和最大迭代次数 `max_iter`。

initial_point = [1.5; 0];
learning_rate = 0.01;
max_iterations = 1000;

3. 最速下降迭代：使用while循环进行迭代，直到达到最大迭代次数或找到足够小的目标函数值。

[x, fval] = gradient_descent(banana_function, initial_point, learning_rate, max_iterations);

function [new_x, fval] = gradient_descent(func, x, alpha, max_iters)
    for iter = 1:max_iters
        % 计算梯度
        grad = gradient(func, x);
        
        % 更新步长
        new_x = x - alpha * grad;
        
        % 检查是否达到最小值或满足停止条件
        if norm(grad) < tolerance || iter == max_iters
            break;
        end
        
        % 更新当前点
        x = new_x;
    end
    
    fval = func(x);
end

% 你可以自定义tolerance（通常是一个很小的数），比如0.0001，表示梯度的阈值。

4. 结果检查：最后，打印出最优解 `x` 和对应的函数值 `fval`。

disp("Optimal solution: ");
disp(x);
disp("Minimum function value: ");
disp(fval);